高中數(shù)學易錯題

數(shù)學概念的理解不透

必修一（1）若不等式ax+x+a＜0的解集為 Φ，則實數(shù)a的取值范圍（）

A.a≤-或a≥B.a＜C.-≤a≤D.a≥

【錯解】選A.由題意，方程ax+x+a=0的根的判別式a≤-或a≥，所以選A.

【正確解析】D .不等式ax+x+a＜0的解集為 Φ，若a=0,則不等式為x<0解集不合已知條件，則a；要不等式ax+x+a＜0的解集為 Φ，則需二次函數(shù)y=ax+x+a的開口向上且與x軸無交點，所以a>0且.

必修一（2）判斷函數(shù)f(x)=(x－1)的奇偶性為____________________

【錯解】偶函數(shù).f(x)=，所以，所以f（x）為偶函數(shù).

【正解】非奇非偶函數(shù).y=f(x)的定義域為：，定義域不關于原點對稱，所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

必修二（4），，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）

(A)，（B），

(C)，，共面 （D），，共點，，共面

【錯解】錯解一：選A.根據(jù)垂直的傳遞性命題A正確；

錯解二：選C.平行就共面；

1/9

【正確解答】選B.命題A中兩直線還有異面或者相交的位置關系；命題C中這三條直線可以是三棱柱的三條棱，因此它們不一定共面；命題D中的三條線可以構(gòu)成三個兩兩相交的平面，所以它們不一定共面.

必修五（5）x=是a、x、b成等比數(shù)列的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【錯解】C.當.x=時，a、x、b成等比數(shù)列成立；當a、x、b成等比數(shù)列時，x=成立.

【正確解析】選D.若x=a=0，x=成立，但a、x、b不成等比數(shù)列，所以充分性不成立；反之，若a、x、b成等比數(shù)列，則，所以x=不一定成立，必要性不成立.所以選D.

排列組合（6）(1)把三枚硬幣一起擲出，求出現(xiàn)兩枚正面向上，一枚反面向上的概率.

分析:

（1）【錯解】三枚硬幣擲出所有可能結(jié)果有2×2×2=8種，而出現(xiàn)兩正一反是一種結(jié)果，故所求概率P=

【正解】在所有的8種結(jié)果中，兩正一反并不是一種結(jié)果，而是有三種結(jié)果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率上述錯解在于對于等可能性事件的概念理解不清，所有8種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能性的，如果把上述三種結(jié)果看作一種結(jié)果就不是等可能性事件了，應用求概率的基本公式自然就是錯誤的.

公式理解與記憶不準

（7）若，則的最小值為___________.

【錯解】，錯解原因是忽略等號成立條件.

【正解】=

2/9

（8）函數(shù)y=sin⁴x+cos⁴x－的相位____________，初相為__________ .周期為_________，單調(diào)遞增區(qū)間為____________.

【錯解】化簡y=sin⁴x+cos⁴x－=，所以相位為4x，初相為0，周期為，增區(qū)間為….

【正確解析】y=sin⁴x+cos⁴x－=.相位為，初相為，周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

審題不嚴

（1）讀題不清

必修五（9）已知是R上的奇函數(shù)，且當時，，則的反函數(shù)的圖像大致是

【錯解】選B.因為在內(nèi)遞減，且過點（0，2），所以選B.

【正確解答】A.根據(jù)函數(shù)與其反函數(shù)的性質(zhì)，原函數(shù)的定義域與值域同其反函數(shù)的值域、定義域相同.當，所以選A.或者首先由原函數(shù)過點（0，2），則其反函數(shù)過點（2，0），排除B、C；又根據(jù)原函數(shù)在時遞減，所以選A.

排列組合

（10）一箱磁帶最多有一盒次品.每箱裝25盒磁帶，而生產(chǎn)過程產(chǎn)生次品磁帶的概率是0.01.則一箱磁帶最多有一盒次品的概率是.

3/9

【錯解】一箱磁帶有一盒次品的概率，一箱磁帶中無次品的概率，所以一箱磁帶最多有一盒次品的概率是+.

【正確解析】一箱磁帶有一盒次品的概率，一箱磁帶中無次品的概率，所以一箱磁帶最多有一盒次品的概率是+.

（2）忽視隱含條件

必修一（11）設是方程的兩個實根，則的最小值是（）

【錯解】利用一元二次方程根與系數(shù)的關系易得：

選A.

【正確解析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關系易得：

原方程有兩個實根，∴

當時，的最小值是8；

當時，的最小值是18.選B.

必修一(12)已知(x+2)²+=1,求x²+y²的取值范圍.

【錯解】由已知得y²=－4x²－16x－12，因此x²+y²=－3x²－16x－12=－3(x+)²+，

∴當x=－時，x²+y²有最大值，即x²+y²的取值范圍是(－∞,].

【正確解析】由已知得y²=－4x²－16x－12，因此x²+y²=－3x²－16x－12=－3(x+)²+

由于(x+2)²+=1(x+2)²=1－≤1－3≤x≤－1，

從而當x=－1時x²+y²有最小值1.∴x²+y²的取值范圍是[1,].（此題也可以利用三角函數(shù)和的平方等于一進行求解）

4/9

必修一13方程的解集為___________________-

【錯解】

或所以x=1或x=2.所以解集為{1，2}.

【正解】

所以解集為{2}.

字母意義含混不清

（14）若雙曲線的離心率為，則兩條漸近線的方程為（）

A.B.C.D.

【錯解】選D.

，選D.

【正確解析】，與標準方程中字母a,b互換了.選C.

4.運算錯誤

（1）數(shù)字與代數(shù)式運算出錯

若，且（），則實數(shù)的值為____________.

【錯解】，則（）.

【正確解析】，（）

必修二18.已知直線與點A（3，3）和B（5，2）的距離相等，且過二直線：3x－y－1=0和

5/9

：x+y－3=0的交點，則直線的方程為_______________________

【錯解】先聯(lián)立兩直線求出它們交點為（1，2），設所求直線的點斜式，再利用A、B到它的距離相等建立方程得，所以所求直線為x+2y-5=0.

【正確解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.聯(lián)立直線：3x－y－1=0和：x+y－3=0的方程得它們的交點坐標為（1，2），令過點（1，2）的直線為：y-2=k(x-1)（由圖形可看出直線的斜率必然存在），由點到直線的距離公式得：，所以直線的方程為:x-6y+11=0或x+2y-5=0.

（2）運算方法（如公式、運算程序或運算方向等）選擇不當導致運算繁雜或不可能得解而出錯

必修二19.已知圓(x－3)²+y²=4和直線y=mx的交點分別為P，Q兩點，O為坐標原點，則的值為.

【運算繁雜的解法】聯(lián)立直線方程y=mx與圓的方程(x－3)²+y²=4消y，得關于x的方程，令，則，則，由于向量與向量共線且方向相同，即它們的夾角為0，所以.

【正確解析】根據(jù)圓的切割線定理，設過點O的圓的切線為OT（切點為T），由勾股定理，則.

（3）忽視數(shù)學運算的精確性，憑經(jīng)驗猜想得結(jié)果而出錯

曲線x²－的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，且，則這樣的直線有___________條.

【錯解】4條.過右焦點的直線，與雙曲線右支交于A、B時，滿足條件的有上、下各一條（關于x軸對稱）；與雙曲線的左、右分別兩交于A、B兩點，滿足條件的有上、下各

6/9

一條（關于x軸對稱），所以共4條.

【正解】過右焦點且與X軸垂直的弦AB（即通徑）為，所以過右焦點的直線，與雙曲線右支交于A、B時，滿足條件的僅一條；與雙曲線的左、右分別兩交于A、B兩點，滿足條件的有上、下各一條（關于x軸對稱），所以共3條.

5.數(shù)學思維不嚴謹

（1）數(shù)學公式或結(jié)論的條件不充分

24.已知兩正數(shù)x,y滿足x+y=1,則z=的最小值為.

【錯解一】因為對a>0,恒有,從而z=4,所以z的最小值是4.

【錯解二】，所以z的最小值是.

【正解】z===，令t=xy,則，由在上單調(diào)遞減,故當t=時有最小值,所以當時z有最小值.

（2）以偏概全，重視一般性而忽視特殊情況

必修一(1)不等式|x+1|(2x－1)≥0的解集為____________

解析：（1）【錯解】.因為|x+1|0恒成立，所以原不等式轉(zhuǎn)化為2x-10，所以

【正確解析】.原不等式等價于|x+1|=0或2x-10，所以解集為.

必修一(2)函數(shù)的定義域為.

(2)【錯解】或.

7/9

【正解】

（3）解題時忽視等價性變形導致出錯

27.已知數(shù)列的前項和，求

【錯解】

【正確解析】當時，，n時，

.所以.

選修實數(shù)為何值時，圓與拋物線有兩個公共點.

【錯解】 將圓與拋物線聯(lián)立，消去，

得①

因為有兩個公共點，所以方程①有兩個相等正根，得， 解之得

【正確解析】要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程①有一正根、一負根；或有兩個相等正根.當方程①有一正根、一負根時，得解之，得

因此，當或時，圓與拋物線有兩個公共點.

(1)設等比數(shù)列的全項和為.若，求數(shù)列的公比.

【錯解】，

.

【正確解析】若，則有但，即得與題設矛盾，

8/9

故.

又依題意,即因為，所以所以解得

空間識圖不準

必修二直二面角α－－β的棱上有一點A，在平面α、β內(nèi)各有一條射線AB，AC與成45⁰，AB，則∠BAC=.

【錯解】如右圖.由最小角定理，.

【正確解析】或.如下圖.當時，由最小角定理，；當AC在另一邊DA位置時，.