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          高中數(shù)學(xué)三年基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

          2022-11-09
          更三高考院校庫(kù)

          高中數(shù)學(xué)三年基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

          一、平面的基本性質(zhì)與推論

          1、平面的基本性質(zhì):

          公理1如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi);

          公理2過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;

          公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。

          2、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系:

          直線與直線—平行、相交、異面;

          直線與平面—平行、相交、直線屬于該平面(線在面內(nèi),最易忽視);

          平面與平面—平行、相交。

          3、異面直線

          平面外一點(diǎn)A與平面一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線是異面直線(判定);

          所成的角范圍(0,90)度(平移法,作平行線相交得到夾角或其補(bǔ)角);

          兩條直線不是異面直線,則兩條直線平行或相交(反證);

          異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)。

          求異面直線所成的角:平移法,把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角

          二、空間中的平行關(guān)系

          1、直線與平面平行(核心)

          定義:直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)

          判定:不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線平行于此平面(由線線平行得出)

          性質(zhì):一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,則這條直線就和兩平面的交線平行

          2、平面與平面平行

          定義:兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)

          判定:一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行

          性質(zhì):兩個(gè)平面平行,則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面;如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。

          3、常利用三角形中位線、平行四邊形對(duì)邊、已知直線作一平面找其交線

          三、空間中的垂直關(guān)系

          1、直線與平面垂直

          定義:直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直

          判定:如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交的直線都垂直,則該直線與此平面垂直

          性質(zhì):垂直于同一直線的兩平面平行

          推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面

          直線和平面所成的角:【0,90】度,平面內(nèi)的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影說(shuō)成的銳角,特別規(guī)定垂直90度,在平面內(nèi)或者平行0度

          2、平面與平面垂直

          定義:兩個(gè)平面所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(二面角的平面角:以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線所成的角)

          判定:一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直

          性質(zhì):兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直

          四、導(dǎo)數(shù)

          (一)導(dǎo)數(shù)第一定義

          設(shè)函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn) x0 的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量 x 在 x0 處有增量 △x ( x0 + △x 也在該鄰域內(nèi) ) 時(shí),相應(yīng)地函數(shù)取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果 △y 與 △x 之比當(dāng) △x→0 時(shí)極限存在,則稱函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo),并稱這個(gè)極限值為函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)記為 f(x0) ,即導(dǎo)數(shù)第一定義

          (二)導(dǎo)數(shù)第二定義

          設(shè)函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn) x0 的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量 x 在 x0 處有變化 △x ( x - x0 也在該鄰域內(nèi) ) 時(shí),相應(yīng)地函數(shù)變化 △y = f(x) - f(x0) ;如果 △y 與 △x 之比當(dāng) △x→0 時(shí)極限存在,則稱函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo),并稱這個(gè)極限值為函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)記為 f(x0) ,即 導(dǎo)數(shù)第二定義

          (三)導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

          如果函數(shù) y = f(x) 在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù) y = f(x) 對(duì)于區(qū)間 I 內(nèi)的每一個(gè)確定的 x 值,都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù),這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù),稱這個(gè)函數(shù)為原來(lái)函數(shù) y = f(x) 的導(dǎo)函數(shù),記作 y, f(x), dy/dx, df(x)/dx。導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。

          (四)單調(diào)性及其應(yīng)用

          1、利用導(dǎo)數(shù)研究多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟

          (1)求f(x)

          0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是增函數(shù);若f(x)<0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是減函數(shù)

          2、用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

          (1)求f(x)

          0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間; f(x)<0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間

          學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn),接下來(lái)可以學(xué)習(xí)高二數(shù)學(xué)中涉及到的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的部分。

          五、高中數(shù)列基本公式:

          1、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系:an=

          2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)) 當(dāng)d≠0時(shí),an是關(guān)于n的一次式;當(dāng)d=0時(shí),an是一個(gè)常數(shù)。

          3、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

          當(dāng)d≠0時(shí),Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0;當(dāng)d=0時(shí)(a1≠0),Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。

          4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式: an= a1qn-1an= akqn-k

          (其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng),an≠0)

          5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:當(dāng)q=1時(shí),Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式);

          六、高中數(shù)學(xué)中有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

          1、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等差數(shù)列。

          2、等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則

          3、等比數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則

          4、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等比數(shù)列。

          5、兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。

          6、兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

          7、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

          8、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

          9、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法:a-d,a,a+d;四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d

          10、三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法:a/q,a,aq;

          四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法:a/q3,a/q,aq,aq3

          七、集合有關(guān)概念

          1、集合的含義:某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合,其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。

          2、集合的中元素的三個(gè)特性:元素的確定性;元素的互異性;元素的無(wú)序性.

          3、集合的表示:

          (1)如{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

          (2).用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}

          4、集合的表示方法:列舉法與描述法。

          常用數(shù)集及其記法:非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R

          5、關(guān)于“屬于”的概念

          集合的元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說(shuō)a屬于集合A記作a∈A,相反,a不屬于集合A記作a?A

          列舉法:把集合中的元素一一列舉出來(lái),然后用一個(gè)大括號(hào)括上。

          描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái),寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。

          6、集合的分類:

          (1)有限集含有有限個(gè)元素的集合

          (2)無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合

          (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}=Φ

          八、集合間的基本關(guān)系

          1、“包含”關(guān)系—子集注意:A?B有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。反之:集?B或B??A合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A?

          2、“相等”關(guān)系:對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素,我們就說(shuō)集合A等于集合B,即:A=B

          ①任何一個(gè)集合是它本身的子集。即A?A

          ②如果A?B,且A?B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集,記作A B(或BA)

          ③如果A?B,B?C,那么A?C

          ④如果A?B同時(shí)B?A那么A=B

          3、不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

          規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運(yùn)算

          4、交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

          記作A∩B(讀作"A交B"),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

          5、并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集。記作:A∪B(讀作"A并B"),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

          6、交集與并集的性質(zhì):A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,

          A∪φ=A,A∪B=B∪A.

          7、全集與補(bǔ)集

          (1)補(bǔ)集:設(shè)S是一個(gè)集合,A是S的一個(gè)子集(即A?S),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)記作:CSA即CSA={x?x?S且x?A}

          (2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素,看作一個(gè)全集。通常用U來(lái)表示。

          (3)性質(zhì):⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

          九、函數(shù)的有關(guān)概念

          合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.

          1、能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:

          (1)分式的分母不等于零;

          (2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零;

          (3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;

          (4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1

          (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

          2、構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

          再注意:

          (1)由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))

          (2)兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。

          相同函數(shù)的判斷方法:

          ①表達(dá)式相同;

          ②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

          3、區(qū)間的概念

          (1)區(qū)間的分類:開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間;

          (2)無(wú)窮區(qū)間;

          (3)區(qū)間的`數(shù)軸表示

          4、映射一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:A?B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f:A?B”

          給定一個(gè)集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對(duì)應(yīng),那么,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

          說(shuō)明:函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對(duì)應(yīng),①集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f是確定的;②對(duì)應(yīng)法則有“方向性”,即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng),它與從B到A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的;③對(duì)于映射f:A→B來(lái)說(shuō),則應(yīng)滿足:(Ⅰ)集合A中的每一個(gè)元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);(Ⅲ)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

          5、常用的函數(shù)表示法:解析法:圖象法:列表法:

          6、分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

          (1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù);

          (2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集

          7、函數(shù)單調(diào)性

          (1)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1

          如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1

          注意:函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì);

          (2)圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

          (A)定義法:○1任取x1,x2∈D,且x1

          8、函數(shù)的奇偶性

          (1)一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

          (2)一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

          注意:○1函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);函數(shù)可能沒(méi)有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

          2由函數(shù)的奇偶性定義可知,函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是,對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,○則-x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

          (3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

          偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

          總結(jié):利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟:○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;○2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;○3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).9、函數(shù)的解9、析表達(dá)式

          (1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí),一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.

          (2).求函數(shù)的解析式的主要方法有:待定系數(shù)法、換元法、消參法等,如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí),可用待定系數(shù)法;已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時(shí),可用換元法,這時(shí)要注意元的取值范圍;當(dāng)已知表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí),也可用湊配法;若已知抽象函數(shù)表達(dá)式,則常用解方程組消參的方法求出f(x)。

          補(bǔ)充不等式的解法與二次函數(shù)(方程)的性質(zhì)

          軌跡,包含兩個(gè)方面的問(wèn)題:凡在軌跡上的點(diǎn)都符合給定的條件,這叫做軌跡的純粹性(也叫做必要性);凡不在軌跡上的點(diǎn)都不符合給定的條件,也就是符合給定條件的點(diǎn)必在軌跡上,這叫做軌跡的完備性(也叫做充分性)。

          十、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟。

          1、建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo);

          2、寫(xiě)出點(diǎn)M的集合;

          3、列出方程=0;

          4、化簡(jiǎn)方程為最簡(jiǎn)形式;

          5、檢驗(yàn)。

          十一、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法:

          求軌跡方程的方法有多種,常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法和交軌法等。

          1、直譯法:直接將條件翻譯成等式,整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

          2、定義法:如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可利用曲線的定義寫(xiě)出方程,這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

          3、相關(guān)點(diǎn)法:用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)x,y表示相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)x0、y0,然后代入點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,y0)所滿足的曲線方程,整理化簡(jiǎn)便得到動(dòng)點(diǎn)Q軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法。

          4、參數(shù)法:當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí),往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關(guān)系,得再消去參變數(shù)t,得到方程,即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。

          5、交軌法:將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去,得到不含參數(shù)的方程,即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

          求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟:

          ①建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;

          ②設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x,y);

          ③列式——列出動(dòng)點(diǎn)p所滿足的關(guān)系式;

          ④代換——依條件的特點(diǎn),選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于X,Y的方程式,并化簡(jiǎn);

          ⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。

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