高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；

2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；

3、對數(shù)的真數(shù)大于零；

4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；

5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中x≠kπ+π/2；

6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；

2、換元法；

3、待定系數(shù)法；

4、函數(shù)方程法；

5、參數(shù)法；

6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；

2、配方法；

3、判別式法；

4、幾何法；

5、不等式法；

6、單調(diào)性法；

7、直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；

2、換元法；

3、不等式法；

4、幾何法；

5、單調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則f(x)+g(x)在這個區(qū)間上也為增（減）函數(shù)。

2、若f(x)為增（減）函數(shù)，則-f(x)為減（增）函數(shù)。

3、若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則f[g(x)]是增函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性不同，則f[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果一個奇函數(shù)在x=0處有定義，則f（0）=0，如果一個函數(shù)y=f（x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)=0（反之不成立）。

2、兩個奇（偶）函數(shù)之和（差）為奇（偶）函數(shù)；之積（商）為偶函數(shù)。

3、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積（商）為奇函數(shù)。

4、兩個函數(shù)y=f（u）和u=g（x）復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則f（x）可以表示為f（x）=1/2[f（x）+f（-x）]+1/2[f（x）+f（-x）]，該式的特點(diǎn)是：右端為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。

不等式的性質(zhì)

①對稱性

②傳遞性

③加法單調(diào)性，即同向不等式可加性

④乘法單調(diào)性

⑤同向正值不等式可乘性

⑥正值不等式可乘方

⑦正值不等式可開方

⑧倒數(shù)法則

注意事項(xiàng)

1、符號

不等式兩邊相加或相減同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變。(移項(xiàng)要變號)

不等式兩邊相乘或相除同一個正數(shù)，不等號的方向不變。(相當(dāng)系數(shù)化1，這是得正數(shù)才能使用)

不等式兩邊乘或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。(除或乘1個負(fù)數(shù)的時(shí)候要變號)

2、解集

確定解集：

①比兩個值都大，就比大的還大(同大取大)

②比兩個值都小，就比小的還小(同小取小)

③比大的大，比小的小，無解(大大小小取不了)

④比小的大，比大的小，有解在中間(小大大小取中間)

三個或三個以上不等式組成的不等式組，可以類推。

3、數(shù)軸法

可以在數(shù)軸上確定解集：

把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集。有幾個就要幾個。

證明方法

1、比較法

0

作商比較法：根據(jù)a/b=1，

b，

1，

當(dāng)b<0時(shí)，得a

2、綜合法

由因?qū)Ч? 證明不等式時(shí)，從已知的'不等式及題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用不等式性質(zhì)及適當(dāng)變形推導(dǎo)出要證明的不等式. 合法又叫順推證法或因?qū)Чā?/p>

3、分析法

執(zhí)果索因. 證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā)，尋找使其成立的充分條件. 由于”分析法“證題書寫不是太方便，所以有時(shí)我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用”綜合法“進(jìn)行表述。

4、放縮法

將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)到證題目的，已知A

5、數(shù)學(xué)歸納法

證明與自然數(shù)n有關(guān)的不等式時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證之。

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論。

在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法。

6、反證法

證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法。

7、換元法

換元的目的就是減少不等式中變量的個數(shù)，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

8、構(gòu)造法

通過構(gòu)造函數(shù)、圖形、方程、數(shù)列、向量等來證明不等式。

一、定比分點(diǎn)

定比分點(diǎn)公式（向量P1P=λ向量PP2）

設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個實(shí)數(shù)λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。

若P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），則有

OP=（OP1+λOP2）（1+λ）；（定比分點(diǎn)向量公式）

x=（x1+λx2）/（1+λ），

y=（y1+λy2）/（1+λ）。（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式。

二、三點(diǎn)共線定理

若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，則A、B、C三點(diǎn)共線。

三、三角形重心判斷式

在△ABC中，若GA+GB+GC=O，則G為△ABC的重心。

四、向量共線的重要條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。

a//b的重要條件是xy—xy=0。

零向量0平行于任何向量。

五、向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是ab=0。

a⊥b的充要條件是xx+yy=0。

零向量0垂直于任何向量。

設(shè)a=（x，y），b=（x，y）。

六、向量的運(yùn)算

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

AB+BC=AC。

a+b=（x+x，y+y）。

a+0=0+a=a。

向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a；

結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。0的反向量為0

AB—AC=CB。即“共同起點(diǎn)，指向被減”

a=（x，y） b=（x，y） 則a—b=（x—x，y—y）。

4、數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。

當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a同方向；

當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a反方向；

當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。

當(dāng)a=0時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當(dāng)∣λ∣＞1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；

當(dāng)∣λ∣＜1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來的.∣λ∣倍。

5、數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：（λa）b=λ（ab）=（aλb）。

向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa。

數(shù)對于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb。

數(shù)乘向量的消去律：

①如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

6、向量的的數(shù)量積

定義：已知兩個非零向量a，b。作OA=a，OB=b，則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a，b〉并規(guī)定0≤〈a，b〉≤π

定義：兩個向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個數(shù)量，記作ab。若a、b不共線，則ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共線，則ab=+—∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：ab=xx+yy。

7、向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

ab=ba（交換律）；

（λa）b=λ（ab）（關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律）；

（a+b）c=ac+bc（分配律）；

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

aa=|a|的平方。

a⊥b〈=〉ab=0。

|ab|≤|a||b|。

8、向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

8.1向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：（ab）c≠a（bc）；例如：（ab）^2≠a^2b^2。

8.2向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由ab=ac（a≠0），推不出b=c。

8.3|ab|≠|(zhì)a||b|

8.4由a|=|b|，推不出a=b或a=—b。

七、向量的向量積

1、定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

2、向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

3、向量的向量積運(yùn)算律

a×b=—b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c。

注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

4、向量的三角形不等式

1、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

①當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號；

②當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號。

2、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a—b∣≤∣a∣+∣b∣。

①當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號；

②當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號。