國際象棋發(fā)明人的報(bào)酬

這是印度的一個(gè)古老傳說，舍罕王打算重賞象棋發(fā)明人、宰相西薩·班·達(dá)依爾。這位聰明的大臣的胃口看來并不大，他跪在國王面前說： ‘陛下，請您在這張棋盤的第一個(gè)小格內(nèi)，賞給我一粒麥子，在第二個(gè)小格內(nèi)給兩粒，第三格內(nèi)給四粒，用這樣下去，每一小格內(nèi)都比前一小格加一倍。陛下，把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的仆人吧!’ ‘愛卿，你所求的并不多啊?！眹跽f道，心里為自己對這樣一件奇妙的發(fā)明賞賜的許諾不致破費(fèi)太多而暗喜?！澳惝?dāng)然會如愿以償?shù)?，”國王命令如?shù)付給達(dá)依爾。 計(jì)數(shù)麥粒的工作開始了，第一格內(nèi)放1粒，第二格內(nèi)放2粒第三格內(nèi)放2’粒，…還沒有到第二十格，一袋麥子已經(jīng)空了。一袋又一袋的麥子被扛到國王面前來。但是，麥粒數(shù)一格接一格飛快增長著，國王很快就看出，即便拿全印度的糧食，也兌現(xiàn)不了他對達(dá)依爾的諾言。 原來，所需麥?？倲?shù) 1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1 =18446744073709551615。 這些麥子究竟有多少?打個(gè)比方，如果造一個(gè)倉庫來放這些麥子，倉庫高4公尺，寬10公尺，那么倉庫的長度就等于地球到太陽的距離的兩倍。而要生產(chǎn)這么多的麥子，全世界要兩千年。盡管印度舍罕王非常富有，但要這樣多的麥子他是怎么也拿不出來的。這么一來，舍罕王就欠了宰相好大一筆債。要么是忍受達(dá)依爾沒完沒了的討債，要么是干脆砍掉他的腦袋。結(jié)果究竟如何，可惜史書上沒有記載。

從這個(gè)故事中，不難看出，印度古代對等比級數(shù)已有相當(dāng)?shù)难芯俊?類似印度“國際象棋發(fā)明人的報(bào)酬”問題還出現(xiàn)在別的國度。十八世紀(jì)初期，俄國馬格尼茨的《算術(shù)》一書中的“賣馬’問題，就與“國際象棋發(fā)明人的報(bào)酬”相類似，有異曲同工之妙。 “賣馬”原題如下： 某人賣馬一匹，得錢156盧布。但是買主買到馬以后又懊悔了，要把馬退還給賣主，他說這匹馬根本不值這么多錢。于是賣主向買主提出了另一種計(jì)算馬價(jià)的方案說，如果你嫌馬太貴了，那末就只買馬蹄上的釘子好了，馬就算白送給你。每個(gè)馬蹄鐵上有6枚釘子，第一枚釘子只賣1/4個(gè)戈比(1盧布等于100戈比)，第二枚賣半個(gè)戈比，第三枚一個(gè)戈比，后面每個(gè)釘子價(jià)格依此類椎。買主認(rèn)為釘子的價(jià)值總共也花不了10個(gè)盧布，還能白得一匹好馬，于是就欣然同意丁。結(jié)果買主算賬后才明白上當(dāng)。試問買主在這筆交易中要虧損多少?