根據(jù) |A|A1=A*，有(A1)*= |A1|(A1)1=A/|A|，而(A*)1= (|A|A1)1 = (A1)1/|A| = A/|A|，故矩陣逆的伴隨矩陣等于伴隨矩陣的逆，即(A1)*=(A*)1。

伴隨矩陣

在線性代數(shù)中，一個(gè)方形矩陣的伴隨矩陣是一個(gè)類(lèi)似于逆矩陣的概念。如果二維矩陣可逆，那么它的逆矩陣和它的伴隨矩陣之間只差一個(gè)系數(shù)，對(duì)多維矩陣也存在這個(gè)規(guī)律。然而，伴隨矩陣對(duì)不可逆的矩陣也有定義，并且不需要用到除法。

逆矩陣

設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，若存在另一個(gè)n階矩陣B，使得： AB=BA=E ，則稱(chēng)方陣A可逆，并稱(chēng)方陣B是A的逆矩陣。

伴隨定義：設(shè)X和U是兩個(gè)歐幾里得空間,若A是X到U的線性映射,則A的轉(zhuǎn)置將U映射到X,為了和一般意義的轉(zhuǎn)置加以區(qū)別,我們將歐幾里得空間X到U的線性映射A的轉(zhuǎn)置稱(chēng)為A的伴隨,記做：A*，完整定義為：任意u∈U,L(x)=(Ax,u)。

伴隨矩陣的特征值和特征向量：

當(dāng)矩陣的階數(shù)等于一階時(shí)，伴隨矩陣為一階單位方陣。矩陣的秩等于列秩，秩小于n表示矩陣的列向量組線性相關(guān)，則其齊次線性方程組有非零解。由Cramer法則，行列式為0。

一個(gè)方形矩陣的伴隨矩陣是一個(gè)類(lèi)似于逆矩陣的概念，如果二維矩陣可逆，那么它的逆矩陣和它的伴隨矩陣之間只差一個(gè)系數(shù)。

伴隨矩陣可以用來(lái)求逆矩陣，逆矩陣等于伴隨矩陣乘行列式的倒數(shù)，所以行列式必須不等于0。求逆矩陣有兩種方法。一是利用伴隨矩陣乘以這個(gè)矩陣的行列式的倒數(shù)。

二是將這個(gè)矩陣A擴(kuò)充為A;E然后對(duì)這個(gè)增廣矩陣做初等變換，讓左邊的A變?yōu)镋，此時(shí)右邊的E則變成了A的逆。

伴隨矩陣三大公式

公式一：AA^* = A^*A = |A|E

這是伴隨矩陣定義式，也是判定方式。原矩陣同階的可交換方陣；和原矩陣相乘結(jié)果是行列式值和單位矩陣之積。

公式二：A-1=1/|A| * A*

逆矩陣的另外一種定義方式。

公式三：對(duì)于可逆矩陣有公式A^* = |A|A^-1

可以求出可逆矩陣的伴隨矩陣。