怎么求3X3矩陣的行列式

2022-09-30

高考微媒 |

重磅！“數(shù)”說教育這十年>>>教育部最新回復：積極支持河南省設立高等學校！>>>2022軟科中國最好學科排名重磅發(fā)布！各專業(yè)哪些院校實力最強？>>>抓住機會！四川省2022年專科補錄志愿填報將于9月20日開始！>>>分類考試、綜合評價、多元錄取，教育部發(fā)布會聚焦考試招生制度改革>>>國家智慧教育平臺上新“樹人課堂”，今晚同步直播《開學第一課》（附觀看入口）>>>火速收藏！2023高考規(guī)劃月歷，來了！>>>【大一新生入學攻略】新生入學必備物品清單，開學必備證件一篇全齊了！>>>高考 | 給大一新生的100條建議>>>

矩陣的行列式常用于微積分、線性代數(shù)和高等幾何。求一個矩陣的行列式一開始可能會讓人困惑，但只要做過幾次后，你就會覺得并不是那么難。

方法1方法1 的 2:求行列式

1寫出3×3矩陣。
我們從3x3矩陣A開始，試著找出它的行列式|A|。下面是我們將使用的一般矩陣表示法，以及示例矩陣：
M=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(153247462){displaystyle M={egin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}a_{21}&a_{22}&a_{23}a_{31}&a_{32}&a_{33}end{pmatrix}}={egin{pmatrix}1&5&32&4&74&6&2end{pmatrix}}}
2選擇單行或單列。
這將是引用行或列。不管你選哪一行或列，結果都是一樣的。現(xiàn)在，只選擇第一行。稍后，我們將給出一些關于如何選擇最簡單的計算方法的建議。
- 我們選擇示例矩陣A的第一行，圈出1 5 3。一般來說，圈出₁₁a₁₂a₁₃。
- 3劃掉第一個元素的行和列。
  查看圈出的行或列，并選擇第一個元素。通過它的行和列畫線。剩下四個數(shù)字。我們把它看成一個2×2矩陣。
- 在本例中，引用行是1 5 3。第一個元素在第1行和第1列。劃掉第一行和第一列。把剩下的元素寫成2×2矩陣：
- ~~1 5 3~~
  2
  4 1
  
  4
  6 2
- 4求出2x2矩陣的行列式。
  記住，這個矩陣 ${displaystyle {egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}}$
  5將結果乘以你選擇的元素。
  記住，當你決定劃去哪一行和哪一列時，是從引用行（或列）中選擇了一個元素。將這個元素乘以剛剛計算出的2x2矩陣的行列式。
- 在本例中，我們選擇了a₁₁，值為1。將它乘以-34（2x2矩陣的行列式），得到1*-34 =
  -34
  。
- 6確定答案的正負號。
  接下來，將答案乘以1或-1來得到所選元素的
  代數(shù)余子式
  。你用哪一個取決于元素在3x3矩陣中的位置。記住這個簡單的正負號圖來找出哪個元素是正，哪個元素是負：
- + - +
  - + -
  + - +
- 由于我們選擇了a₁₁，用a +標記，將結果乘以1。（也就是說，不用管它）。答案還是
  -34
  。
- 或者，你可以用公式(-1)來計算正負號，其中i和j是該元素的行數(shù)和列數(shù)。
- 7對引用行或列中的第二個元素重復這個過程。
  返回到初始的3x3矩陣，包含你之前圈出的行或列。對這個元素重復相同的過程：
- 劃掉這個元素所在的行和列。
  在本例中，選擇元素a₁₂（值為5）。劃掉第一行（1 5 3）和第二列(546){displaystyle {egin{pmatrix}546end{pmatrix}}}
  8對于三個元素重復這個操作。
  你還要找出一個余子式。計算引用行或列中第三項的i。在本例中，下面是計算a₁₃余子式的簡要描述：
  - 劃掉第1行和第3列，得到(2446){displaystyle {egin{pmatrix}2&44&6end{pmatrix}}}
    9將三個結果加起來。
    這是最后一步。你已經算出來三個代數(shù)余子式，每個分別對應單行或單列中的每個元素。把它們加起來，你就得到了3x3矩陣的行列式。
    - 在本例中，行列式為
      -34
      +
      120
      +
      -12
      =
      74
      。

方法2方法2 的 2:簡化問題

1選擇0最多的引用行或列。
記住，你可以選擇任意行或列作為引用。不管你選哪一個，結果都是一樣的。如果你選擇一個帶有零的行或列，只需要計算非零元素的代數(shù)余子式。原因如下：
假設你選擇第2行，包含元素a₂₁、a₂₂和₂₃。要解決這個問題，我們要看三個不同的2x2矩陣。我們把它們叫做A₂₁、A₂₂和A₂₃。
3x3矩陣的行列式是a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|。
如果a₂₂和a₂₃都為0，公式就變成a₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|。現(xiàn)在我們只需計算一個元素的代數(shù)余子式。
2利用行加法使矩陣更簡單。
如果你把一行的值加到另一行，矩陣的行列式不變。列也是如此。你可以重復這樣操作，或者在加之前將值乘以一個常數(shù)，從而使矩陣有盡可能多的0。這樣可以節(jié)省很多時間。
例如，假設你有一個3×3的矩陣：(912310752){displaystyle {egin{pmatrix}9&-1&23&1&07&5&-2end{pmatrix}}}
3學習三角矩陣的快捷方法。
在這些特殊情況下，行列式就是主對角線上的元素的乘積，從左上角的a₁₁到右下角的a₃₃。我們討論的仍然是3x3矩陣，但是“三角”矩陣有非零值的特殊模式：
- 上三角矩陣：所有非零元素都在主對角線上或主對角線之上。下面全部是0。
- 下三角矩陣：所有非零元素都在主對角上或主對角之下。
- 對角矩陣：所有非零元素都在主對角上。（上述矩陣的一個子集）