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          勾股定理的證明方法及常用公式

          2021-11-24
          更三高考院校庫

          勾股定理推導(dǎo):歐幾里得證法

          在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設(shè)△ABC為一直角三角形,其中A為直角。從A點劃一直線至對邊,使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二,其面積分別與其余兩個正方形相等。

          在這個定理的證明中,我們需要如下四個輔助定理:

          如果兩個三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等,則兩三角形全等。(SAS)

          三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。

          任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。

          任意一個矩形的面積等于其二邊長的乘積。

          證明的思路為:從A點劃一直線至對邊,使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二,把上方的兩個正方形,通過等高同底的三角形,以其面積關(guān)系,轉(zhuǎn)換成下方兩個同等面積的長方形。

          設(shè)△ABC為一直角三角形,其直角為∠CAB。

          其邊為BC、AB和CA,依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

          畫出過點A之BD、CE的平行線,分別垂直BC和DE于K、L。

          分別連接CF、AD,形成△BCF、△BDA。

          ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共線,同理可證B、A和H共線。

          ∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。

          因為AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。

          因為A與K和L在同一直線上,所以四邊形BDLK=2△ABD。

          因為C

          A和G在同一直線上,所以正方形BAGF=2△FBC。

          因此四邊形BDLK=BAGF=AB。

          同理可證,四邊形CKLE=ACIH=AC。

          把這兩個結(jié)果相加,AB+AC=BD×BK+KL×KC

          由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

          由于CBDE是個正方形,因此AB+AC=BC,即a+b=c。

          此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節(jié)所提出的。

          由于這個定理的證明依賴于平行公理,而且從這個定理可以推出平行公理,很多人質(zhì)疑平行公理是這個定理的必要條件,一直到十九世紀(jì)嘗試否定第五公理的非歐幾何出現(xiàn)。

          勾股定理常見知識點

          1、過兩點有且只有一條直線

          2、兩點之間線段最短

          3、同角或等角的補(bǔ)角相等

          4、同角或等角的余角相等

          5、過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

          6、直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短

          7、平行公理經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行

          8、如果兩條直線都和第三條直線平行,這兩條直線也互相平行

          9、同位角相等,兩直線平行

          10、內(nèi)錯角相等,兩直線平行

          11、同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行

          12、兩直線平行,同位角相等

          13、兩直線平行,內(nèi)錯角相等

          14、兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)

          15、定理三角形兩邊的和大于第三邊

          16、推論三角形兩邊的差小于第三邊

          17、三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180"

          18、推論1直角三角形的兩個銳角互余

          19、推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

          20、推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

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