勾股定理推導(dǎo)：歐幾里得證法

在歐幾里得的《幾何原本》一書(shū)中給出勾股定理的以下證明。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線(xiàn)至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線(xiàn)把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。

在這個(gè)定理的證明中，我們需要如下四個(gè)輔助定理：

如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）

三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。

任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積。

任意一個(gè)矩形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積。

證明的思路為：從A點(diǎn)劃一直線(xiàn)至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線(xiàn)把對(duì)邊上的正方形一分為二，把上方的兩個(gè)正方形，通過(guò)等高同底的三角形，以其面積關(guān)系，轉(zhuǎn)換成下方兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形。

設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。

其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫(huà)出過(guò)點(diǎn)A之BD、CE的平行線(xiàn)，分別垂直BC和DE于K、L。

分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線(xiàn)，同理可證B、A和H共線(xiàn)。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因?yàn)锳B=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因?yàn)锳與K和L在同一直線(xiàn)上，所以四邊形BDLK=2△ABD。

因?yàn)镃

A和G在同一直線(xiàn)上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四邊形BDLK=BAGF=AB。

同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC。

把這兩個(gè)結(jié)果相加，AB+AC=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是個(gè)正方形，因此AB+AC=BC，即a+b=c。

此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書(shū)第1.47節(jié)所提出的。

由于這個(gè)定理的證明依賴(lài)于平行公理，而且從這個(gè)定理可以推出平行公理，很多人質(zhì)疑平行公理是這個(gè)定理的必要條件，一直到十九世紀(jì)嘗試否定第五公理的非歐幾何出現(xiàn)。

1、過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)

2、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短

3、同角或等角的補(bǔ)角相等

4、同角或等角的余角相等

5、過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)和已知直線(xiàn)垂直

6、直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)連接的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短

7、平行公理經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行

8、如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，這兩條直線(xiàn)也互相平行

9、同位角相等，兩直線(xiàn)平行

10、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行

11、同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行

12、兩直線(xiàn)平行，同位角相等

13、兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

14、兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)

15、定理三角形兩邊的和大于第三邊

16、推論三角形兩邊的差小于第三邊

17、三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180"

18、推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余

19、推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

20、推論3三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角