《周髀算經(jīng)》原名《周髀》，算經(jīng)的十書(shū)之一，是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書(shū)于公元前1世紀(jì)，主要闡明當(dāng)時(shí)的蓋天說(shuō)和四分歷法。唐初規(guī)定它為國(guó)子監(jiān)明算科的教材之一，故改名《周髀算經(jīng)》。下面小編就為大家?guī)?lái)詳細(xì)的介紹，一起來(lái)看看吧!

《周髀算經(jīng)》在數(shù)學(xué)上的主要成就是介紹了勾股定理(據(jù)說(shuō)原書(shū)沒(méi)有對(duì)勾股定理進(jìn)行證明，其證明是三國(guó)時(shí)東吳人趙爽在《周髀注》一書(shū)的《勾股圓方圖注》中給出的)及其在測(cè)量上的應(yīng)用以及怎樣引用到天文計(jì)算。)

《周髀算經(jīng)》的采用最簡(jiǎn)便可行的方法確定天文歷法，揭示日月星辰的運(yùn)行規(guī)律，囊括四季更替，氣候變化，包涵南北有極，晝夜相推的道理。給后來(lái)者生活作息提供有力的保障，自此以后歷代數(shù)學(xué)家無(wú)不以《周髀算經(jīng)》為參考，在此基礎(chǔ)上不斷創(chuàng)新和發(fā)展。

勾股定理

首先，《周髀算經(jīng)》中明確記載了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日。”(《周髀算經(jīng)》上卷二)

而勾股定理的證明呢，就在《周髀算經(jīng)》上卷一——昔者周公問(wèn)于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問(wèn)昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出?”

商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也。”

周公對(duì)古代伏羲(庖犧)構(gòu)造周天歷度的事跡感到不可思議(天不可階而升，地不可得尺寸而度)，就請(qǐng)教商高數(shù)學(xué)知識(shí)從何而來(lái)。于是商高以勾股定理的證明為例，解釋數(shù)學(xué)知識(shí)的由來(lái)?！皵?shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一?！苯忉尠l(fā)展脈絡(luò)——數(shù)之法出于圓(圓周率三)方(四方)，圓出于方(圓形面積=外接正方形面積*圓周率/4)，方出于矩(正方形源自兩邊相等的矩)，矩出于九九八十一(長(zhǎng)乘寬面積計(jì)算依自九九乘法表)。

“故折矩①，以為勾廣三，股修四，徑隅五?！遍_(kāi)始做圖——選擇一個(gè)勾三(圓周率三)、股四(四方)的矩，矩的兩條邊終點(diǎn)的連線應(yīng)為5(徑隅五)。

“②既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五?！边@就是關(guān)鍵的證明過(guò)程——以矩的兩條邊畫(huà)正方形(勾方、股方)，根據(jù)矩的弦外面再畫(huà)一個(gè)矩(曲尺，實(shí)際上用作直角三角形)，將“外半其一矩”得到的三角形剪下環(huán)繞復(fù)制形成一個(gè)大正方形，可看到其中有邊長(zhǎng)三勾方、邊長(zhǎng)四股方、邊長(zhǎng)五弦方三個(gè)正方形。

“兩矩共長(zhǎng)③二十有五，是謂積矩?！贝藶轵?yàn)算——勾方、股方的面積之和，與弦方的面積二十五相等——從圖形上來(lái)看，大正方形減去四個(gè)三角形面積后為弦方，再是大正方形減去右上、左下兩個(gè)長(zhǎng)方形面積后為勾方股方之和。因三角形為長(zhǎng)方形面積的一半，可推出四個(gè)三角形面積等于右上、左下兩個(gè)長(zhǎng)方形面積，所以勾方+股方=弦方。

注意：①矩，又稱曲尺，L型的木匠工具，由長(zhǎng)短兩根木條組成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的長(zhǎng)方形。

②“既方之，外半其一矩”此句有爭(zhēng)議。清代四庫(kù)全書(shū)版定為“既方其外半之一矩”，而之前版本多為“既方之外半其一矩”。經(jīng)陳良佐、李國(guó)偉、李繼閔、曲安京等學(xué)者研究，“既方之，外半其一矩”更符合邏輯。

③長(zhǎng)指的是面積。古代對(duì)不同維度的量綱比較，并沒(méi)有發(fā)明新的術(shù)語(yǔ)，而統(tǒng)稱“長(zhǎng)”。趙爽注稱：“兩矩者，句股各自乘之實(shí)。共長(zhǎng)者，并實(shí)之?dāng)?shù)。

由于年代久遠(yuǎn)，周公弦圖失傳，傳世版本只印了趙爽弦圖(造紙術(shù)在漢代才發(fā)明)。所以某些學(xué)者誤以為商高沒(méi)有證明(只是說(shuō)了一段莫名其妙的話)，后來(lái)趙爽才給出證明。其實(shí)不然，摘錄趙爽注釋《周髀算經(jīng)》時(shí)所做的《勾股圓方圖》——“句股各自乘，并之為弦實(shí)，開(kāi)方除之即弦。案：弦圖又可以句股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以句股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)亦成弦實(shí)。”

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