排列組合中異素均分問(wèn)題是一個(gè)難點(diǎn)，很多同學(xué)碰見這類平均分組問(wèn)題都很難做正確。其實(shí)異素均分問(wèn)題只要掌握了基本原理后就非常簡(jiǎn)單，就一起來(lái)深入剖析異素均分問(wèn)題。

一.異素均分模型：

m個(gè)不同的元素，平均分為n個(gè)組，共有多少種情況?

二.異素均分解題思路：

1.異素均分不考慮順序問(wèn)題：

解題思路：m個(gè)不同的元素平分分成n組，則每組有個(gè)元素，采用分步原理來(lái)計(jì)算，第一次從m個(gè)元素當(dāng)中取出個(gè)元素，第二次從剩下的元素當(dāng)中取出個(gè)元素，直到取完，最后考慮算重復(fù)的情況。接下來(lái)看道題來(lái)理解解題思路。

例1

將10個(gè)運(yùn)動(dòng)員平均分成兩組進(jìn)行對(duì)抗賽，問(wèn)有多少種不同的分法? A.120 B.126 C.240 D.252

【答案】B。解析:10個(gè)運(yùn)動(dòng)員平均分成兩組，每組5人。第一步從10個(gè)運(yùn)動(dòng)員中選5個(gè)人，有種情況，第二步從剩下5個(gè)人中選出5人，有種情況，由于是分步來(lái)計(jì)算的，所以總情況數(shù)為種。但是我們考慮這種情況，假設(shè)這10個(gè)人分別為ABCDEFGHIJ這10個(gè)人，第一步從10個(gè)人當(dāng)中選出5個(gè)人，其中1種情況可以是ABCDE為一組，第二步剩下5人FGHIJ為一組。但是第一步選出來(lái)的5人也可以為FGHIJ，則第二步的5人為ABCDEF。我們可以看到這兩種情況是同一組分組方式，故我們算重復(fù)了2次，所以實(shí)際不同的情況數(shù)為種。

從此題我們可以看出，平均分成2組，算重復(fù)了2次，那么平均分成3組，是算重復(fù)了幾次呢?

我們?cè)倏聪旅孢@個(gè)例子：

例2

有6個(gè)學(xué)生，平均分成3組，共有多少種情況?

A.15 B.45 C.60 D.90

【答案】A。解析:6個(gè)人平分分成3組，每組2人。第一步，從6個(gè)人中，選2人，;第二步，從剩下4人中選2人，;第三步，從剩下2人中選2人，。總情況數(shù)：。接下來(lái)我們考慮一下算重復(fù)的情況數(shù)，假設(shè)這6人為ABCDEF此6人。

以上是選出來(lái)的情況，同學(xué)們可以看出這6種情況都是同一種分組情況，即AB一組，CD一組，EF一組，故我們算重復(fù)了6次。總情況數(shù)為種。

此題平分分成三組，算重復(fù)了6次，其實(shí)是算重復(fù)了次，上一道題平均分成兩組，算重復(fù)了2次，其實(shí)是算重復(fù)了次。

總結(jié)：故異素均分問(wèn)題，平均分成n組，就算重復(fù)了。

2.異素均分考慮順序問(wèn)題：

解題思路：第一步，先平均分組，第二步，再考慮順序進(jìn)行排列。

例3

某省準(zhǔn)備派甲、乙、丙3個(gè)巡視組對(duì)A、B、C、D、E、F，這6家單位進(jìn)行巡視，每個(gè)巡視組巡視2家單位且組間巡視單位不交叉，共有多少種不同的巡視情況?

A.15 B.45 C.60 D.90

【答案】D。解析:此題是一個(gè)異素均分問(wèn)題，我們可以分步完成，第一步先平均分成3組，第二步，這3組分別由甲乙丙3個(gè)巡視組來(lái)巡視。第一步,6個(gè)元素平均分成3組一共有種情況，第二步，3個(gè)不同巡視組巡視這3個(gè)分組，共有種情況，故選D。