行測考試中，排列組合是考察頻率較高但卻令很多小伙伴頭疼的題型，尤其是一些需要分類討論的題目，稍有不慎就會漏掉一些情況。今天，帶領(lǐng)大家一起，學(xué)習(xí)一下間接法，從另外一個角度來討論需要分類較多的排列組合。

知識點撥

需要分類討論的排列組合題目，無論分多少類，終究是有限的，只是出題人往往要求我們討論分類較多的情況。但是反過來想想，如果求的結(jié)果是分類較多的部分，那么剩余的部分，分類就較少了，我們可以用整體數(shù)減去剩余部分(稱為對立事件)，這樣就可以減少一些計算量。間接的方法，反而可能更快更“直接”得到答案。

例題展示

例題

由1-9組成一個3位數(shù)，3位數(shù)肯定有數(shù)字重復(fù)的組合有多少種?

A.220 B.255 C.280 D.225

本題考查排列組合，我們第一反應(yīng)通常把有數(shù)字重復(fù)的情況進(jìn)行分類，本題需要分成四類情況：

(1)百位、十位數(shù)字重復(fù)：先確定百位上的數(shù)字，從9個數(shù)中選一個，有9種情況，十位數(shù)與百位數(shù)相同，只需考慮個位的情況，個位和百位、十位數(shù)字不同，所以只能從剩下的8個數(shù)字中選一個，也就是8種情況，這是分步的過程，有9×8=72種情況。

(2)百位、個位數(shù)字重復(fù)：同(1)有9×8=72種情況。

(3)十位、個位數(shù)字重復(fù)：同(1)有9×8=72種情況。

(4)百位、十位、個位數(shù)字都重復(fù)：先確定百位，從9個數(shù)中選一個，有9種情況，此時十位、個位和百位相同，直接確定，所以一共有9種情況。

分類相加，所以符合要求的數(shù)字組合一共有：72+72+72+9=225，答案為D。

雖然結(jié)果算出來了，但是考慮情況會比較多，況且這只是三位數(shù)，如果是四位數(shù)、五位數(shù)會更加麻煩。如果用間接法會如何呢?

題目要求的是三位數(shù)中，有數(shù)位上的數(shù)重復(fù)，分類較多，對立事件為三個數(shù)位上的數(shù)字均不重復(fù)，只有這一類。我們可以先計算總的情況數(shù)，減去對立事件包含的情況數(shù)。

總的情況數(shù)：百位、十位、個位均有9種可能，分步相乘，共9×9×9=729種。

對立事件包含的情況數(shù)：一共有3個數(shù)位，9個數(shù)字可以選擇，每個數(shù)位上的數(shù)字各不相同，故有

729-504=225種，故本題選D。

練習(xí)提升

例1

某交警大隊的16名民警中，男性為10人?，F(xiàn)要選4人進(jìn)行夜間巡邏工作，要求男性民警不得少于2人，問：有多少種選人方法?

A.1605 B.1520 C.1071 D.930

【解析】A。男性民警為10人，則女性民警有6人。有不少于字眼，考慮對立面，男性民警少于2人，即沒有男性民警或只有1名男性民警，則本題所求為故本題選A。

例2

三行三列間距相等共有九盞燈，任意亮起其中的三盞組成一個三角形，持續(xù)5秒鐘后換另一個三角形。那么如此持續(xù)亮，亮完所有的三角形組合至少需要多少秒?

A.380 B.390 C.410 D.420

【解析】A。要求亮完所有的三角形組合的時間，則需要先求出所有三角形組合的數(shù)量。若直接討論三角形種類，情況較多，使用間接法，一共9個點，任取其中三個點，考慮到在一條直線上的三個點不能構(gòu)成三角形，需要減去8，即三條橫線，三條豎線，兩條對角線。故共有84-8=76個不同的三角形，亮完至少需要76×5=380秒。

小結(jié)

間接法可以減少計算量，那我們什么時候可以應(yīng)用這個方法呢?也幫大家總結(jié)了一些特征：①題目分類較多時;②題干中出現(xiàn)至多、至少等字眼時。

希望大家以后遇見此類題目，不要輕易放棄，嘗試去做一做，也歡迎大家來課堂，學(xué)習(xí)更多解題方法。