如果在一個(gè)正方形苗圃，栽種桃樹(shù)和李樹(shù)，一圈一圈地相間種植，即最外一圈種的是桃樹(shù)，往內(nèi)一圈種植的是李樹(shù)，然后是桃樹(shù)，……最內(nèi)一圈種了4棵李樹(shù)。已知樹(shù)苗的行距和列距都相等，桃樹(shù)比李樹(shù)多40棵。那么一共需要多少棵樹(shù)?今天和大家一起研究下公職考試中的一類(lèi)題型——方陣問(wèn)題：

一、基本概念

橫的排叫做行，豎的排叫做列，如果行數(shù)和列數(shù)都相等，則正好排成一個(gè)正方形，就是所謂的“方陣”。如果整個(gè)方陣中間沒(méi)有空缺，那么它是實(shí)心方陣，中間有空缺的稱(chēng)為空心方陣。

二、實(shí)心方陣

①每層每邊個(gè)數(shù)依次增加 2。

②每層個(gè)數(shù)依次增加 8。這里有一種特殊情況，當(dāng)最外層每邊個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)最內(nèi)層只有 1 ，次內(nèi)層有8，此時(shí)相差相差7。

③總數(shù)=最外層每邊個(gè)數(shù)的平方，可以通過(guò)正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方聯(lián)系記憶。

④每層個(gè)數(shù)=每邊個(gè)數(shù)，在計(jì)算每邊個(gè)數(shù)時(shí)會(huì)把4個(gè)頂角重復(fù)計(jì)算，所以減去4。

【例1】若干學(xué)校聯(lián)合進(jìn)行團(tuán)體操表演，參演學(xué)生組成一個(gè)方陣，已知方陣由外到內(nèi)第二層有 104人，則該方陣共有學(xué)生( )人。

A、625 B、841 C、1024 D、1369

【解析】由“方陣由外到內(nèi)第二層有 104人”，方陣中每層人數(shù)依次增加8人可以得到最外層人數(shù)有人。再結(jié)合每層個(gè)數(shù)=每邊個(gè)數(shù)公式。

【答案】選B。設(shè)最外層每邊人數(shù)為X人，最外層人數(shù)為,解得X=29人。該方陣總?cè)藬?shù)為人。

【例2】如果在一個(gè)正方形苗圃，栽種桃樹(shù)和李樹(shù)，一圈一圈地相間種植，即最外一圈種的是桃樹(shù)，往內(nèi)一圈種植的是李樹(shù)，然后是桃樹(shù)，……最內(nèi)一圈種了4棵李樹(shù)。已知樹(shù)苗的行距和列距都相等，桃樹(shù)比李樹(shù)多40棵。那么一共需要多少棵樹(shù)?()。

A、400 B、484 C、300 D、350

【解析】最內(nèi)一圈4棵樹(shù)說(shuō)明是實(shí)心方陣。已知方陣的相鄰兩層總數(shù)差8，而桃樹(shù)一共比李樹(shù)多40棵，說(shuō)明一共有層，根據(jù)每層每邊依次加2可以得出最外層邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)。

【答案】A。最內(nèi)一圈4棵樹(shù)，每邊2棵樹(shù)，可得最外層每邊棵樹(shù)。總數(shù)為棵。

三、空心方陣

①每層每邊個(gè)數(shù)依次增加 2;每層個(gè)數(shù)依次增加 8;每層個(gè)數(shù)=每邊個(gè)數(shù)。

②空心方陣與實(shí)心方陣的唯一區(qū)別是中間挖掉了一部分，求總數(shù)可以用等差數(shù)列求和公式，首項(xiàng)為最外層總?cè)藬?shù)，公差為-8 。或記憶公式：。

【例3】某年級(jí)有學(xué)生若干人，列成三層中空方陣，多出 9 人，如在中空部分增列兩層，則少 15 人。問(wèn)該年級(jí)有學(xué)生多少人?

A.100 B.105 C.120 D.136

【解析】根據(jù)題意，增列的兩層共需要人，根據(jù)方陣相鄰兩層人數(shù)相差 8 可知這兩層人數(shù)，進(jìn)而求出最外層每邊人數(shù)帶入公式。

【答案】B。增列兩層人數(shù)分別是。最外層人數(shù)是人，最外層每邊人數(shù)為人，總?cè)藬?shù)為人。

【例4】一個(gè)由邊長(zhǎng) 25人和 15人組成的矩陣，最外面兩圈人數(shù)總和為：

A.232 B.144 C.165 D.196

【解析】因?yàn)橄噜忂吶藬?shù)不同，所以要看成“長(zhǎng)方形”的方陣，在計(jì)算每層人數(shù)時(shí)，依然符合每邊人數(shù)相加后再減去4人。相鄰兩層人數(shù)相差8人。

【答案】B。最外層人數(shù)人，所求為人。

小結(jié):方陣問(wèn)題往往題干比較簡(jiǎn)短，與生活實(shí)際也有一定關(guān)聯(lián)容易理解，比如軍訓(xùn)時(shí)的方陣隊(duì)伍等。希望小伙伴們將上面解題方法加以運(yùn)用后消化，進(jìn)而可以求解出這一類(lèi)題目。