幾何法證明平行問題

一．自主歸納，自我查驗(yàn)

1.自主歸納 ①.直線 a 和平面 α 的位置關(guān)系有________、________、____________，其中________與________統(tǒng)稱直線在平面外. ②.直線和平面平行的判定 (1)定義：___________________________________________________________； (2)判定定理：

a α ， b α ，且 a ∥ b ________； (3)其他判定方法：

α ∥ β ， a α ________. ③.直線和平面平行的性質(zhì)定理：

a ∥ α ， a β ， α ∩ β ＝ l ____________. ④.兩個平面的位置關(guān)系有______________. ⑤.兩個平面平行的判定 (1)定義：______________________________________________________________； (2)判定定理：

a α ， b α ， a ∩ b ＝ M ， a ∥ β ， b ∥ β ________； (3)推論：

a ∩ b ＝ M ， a ， b α ， a ′∩ b ′＝ M ′， a ′， b ′ β ， a ∥ a ′， b ∥ b ′________. ⑥.兩個平面平行的性質(zhì)定理 (1) α ∥ β ， a α ________； (2) α ∥ β ， γ ∩ α ＝ a ， γ ∩ β ＝ b ________. ⑦.與垂直相關(guān)的平行的判定 (1) a ⊥ α ， b ⊥ α ________； (2) a ⊥ α ， a ⊥ β ________. 2.自我查驗(yàn) 1.已知不重合的直線 a ， b 和平面 α ， ①若 a ∥ α ， b α ，則 a ∥ b ； ②若 a ∥ α ， b ∥ α ，則 a ∥ b ； ③若 a ∥ b ， b α ，則 a ∥ α ； ④若 a ∥ b ， a ∥ α ，則 b ∥ α 或 b α . 上面命題中正確的是________(填序號). 2.給出下列五個命題：

①若一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行； ②若一條直線與一個平面內(nèi)的兩條直線平行，則這條直線與這個平面平行； ③若平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行； ④若兩條平行直線中的一條與一個平面平行，則另一條也與這個平面平行；

⑤若一條直線與一個平面平行，則這條直線與這個平面內(nèi)的無數(shù)多條直線平行. 其中正確命題的序號是__________. 3.已知平面 α ∥平面 β ，直線 a α ，有下列說法：

① a 與 β 內(nèi)的所有直線平行；② a 與 β 內(nèi)無數(shù)條直線平行；③ a 與 β 內(nèi)的任意一條直線都不垂直.其中真命題的序號是________. 4.直線 a 不平行于平面 α ，則下列結(jié)論成立的是

(

) A. α 內(nèi)的所有直線都與 a 異面 B. α 內(nèi)不存在與 a 平行的直線 C. α 內(nèi)的直線都與 a 相交 D.直線 a 與平面 α 有公共點(diǎn) 5.一條直線 l 上有相異三個點(diǎn) A 、 B 、 C 到平面 α 的距離相等，那么直線 l 與平面 α 的位置關(guān)系是

(

)

A. l ∥ α

B. l ⊥ α

C. l 與 α 相交但不垂直

D. l ∥ α 或 l α 二．典型例題

題型一 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 例 1 (2015·成都第三次診斷) 如圖，在正方體 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，點(diǎn) N 在 BD 上，點(diǎn) M 在B 1 C 上，且 CM ＝ DN .求證：

MN ∥平面 AA 1 B 1 B .

破題思路 判斷或證明線面平行的常用方法有：(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理( a α ， b α ， a ∥ b a ∥ α )；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理( α ∥ β ，a α a ∥ β )；(4)利用面面平行的性質(zhì)( α ∥ β ， a β ， a ∥ α a ∥ β ). 【解題過程】證明 如圖，作 MP ∥ BB 1 交 BC 于點(diǎn) P ，連接 NP ， ∵ MP ∥ BB 1 ，∴CMMB 1 ＝CPPB

. ∵ BD ＝ B 1 C ， DN ＝ CM ，

∴ B 1 M ＝ BN ，∴CMMB 1 ＝DNNB ，∴CPPB ＝DNNB ， ∴ NP ∥ CD ∥ AB . ∵ NP 平面 AA 1 B 1 B ， AB 平面 AA 1 B 1 B ， ∴ NP ∥平面 AA 1 B 1 B .

∵ MP ∥ BB 1 ， MP 平面 AA 1 B 1 B ， BB 1 平面 AA 1 B 1 B ， ∴ MP ∥平面 AA 1 B 1 B .

又∵ MP 平面 MNP ， NP 平面 MNP ，

MP ∩ NP ＝ P ， ∴平面 MNP ∥平面 AA 1 B 1 B .

∵ MN 平面 MNP ， ∴ MN ∥平面 AA 1 B 1 B .

（改編題）

如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形， 點(diǎn) P 是平面 ABCD 外一點(diǎn)， M 是 PC 的中點(diǎn)，在 DM 上取一點(diǎn) G ，過 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH . 求證：

AP ∥ GH . 證明 如圖，連接 AC 交 BD 于點(diǎn) O ， 連接 MO ，∵四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ O 是 AC 中點(diǎn)， 又 M 是 PC 的中點(diǎn)， ∴ AP ∥ OM . 則有 PA ∥平面 BMD .(根據(jù)直線和平面平行的判定定理) ∵平面 PAHG ∩平面 BMD ＝ GH ， ∴ PA ∥ GH .(根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理) 題型二 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 例 2 （改編題）

如圖所示，已知 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 是棱長為 3 的正方體，點(diǎn) E 在 AA 1 上， 點(diǎn) F 在 CC 1 上， G 在 BB 1 上，且 AE ＝ FC 1 ＝ B 1 G ＝1， H 是 B 1 C 1 的中點(diǎn). (1)求證：

E 、 B 、 F 、 D 1 四點(diǎn)共面； (2)求證：平面 A 1 GH ∥平面 BED 1 F . 破題思路 證明面面平行的方法有：

(1)面面平行的定義；

(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行； (3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行； (4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行； (5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化. 【解題過程】證明 (1)連接 FG . ∵ AE ＝ B 1 G ＝1， ∴ BG ＝ A 1 E ＝2， ∴ BG 平行且等于 A 1 E ， ∴ A 1 G ∥ BE . 又∵ C 1 F 平行且等于 B 1 G ， ∴四邊形 C 1 FGB 1 是平行四邊形， ∴ FG 平行且等于 C 1 B 1 平行且等于 D 1 A 1 ， ∴四邊形 A 1 GFD 1 是平行四邊形. ∴ A 1 G 平行且等于 D 1 F ，∴ D 1 F 平行且等于 EB ，故 E 、 B 、 F 、 D 1 四點(diǎn)共面. (2)取 BG 的中點(diǎn) K ，連接 C 1 K . ∵ H 為 B 1 C 1 的中點(diǎn)，∴ HG ∥ C 1 K . 又∵ C 1 F 綊 BK .∴四邊形 BFC 1 K 是平行四邊形，∴ C 1 K ∥ BF ，∴ HG ∥ BF . 由 A 1 G ∥ BE ， A 1 G ∩ HG ＝ G ， BF ∩ BE ＝ B . ∴平面 A 1 GH ∥平面 BED 1 F .

如圖，在三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中， E ， F ， G ， H 分別是 AB ， AC ， A 1 B 1 ， A 1 C 1 的中 點(diǎn)，求證：

(1) B ， C ， H ， G 四點(diǎn)共面； (2)平面 EFA 1 ∥平面 BCHG . 證明 (1)∵ GH 是△ A 1 B 1 C 1 的中位線，∴ GH ∥ B 1 C 1 . 又∵ B 1 C 1 ∥ BC ，∴ GH ∥ BC ， ∴ B ， C ， H ， G 四點(diǎn)共面. (2)∵ E 、 F 分別為 AB 、 AC 的中點(diǎn)， ∴ EF ∥ BC ， ∵ EF 平面 BCHG ， BC 平面 BCHG ， ∴ EF ∥平面 BCHG . ∵ A 1 G 平行且等于 EB ，∴四邊形 A 1 EBG 是平行四邊形，∴ A 1 E ∥ GB . ∵ A 1 E 平面 BCHG ， GB 平面 BCHG .

∴ A 1 E ∥平面 BCHG . ∵ A 1 E ∩ EF ＝ E ， ∴平面 EFA 1 ∥平面 BCHG . 題型三 線面、面面平行的綜合應(yīng)用 【例 3】（改編題）如圖所示，在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，平面 ABC ∥平面 A 1 B 1 C 1 .若 D 是棱 CC 1的中點(diǎn)，在棱 AB 上是否存在一點(diǎn) E ，使 DE ∥平面 AB 1 C 1 ？并證明你的結(jié)論．

破題思路

對于探索類問題，書寫步驟的格式有兩種：

一種是：第一步，探求出點(diǎn)的位置. 第二步，證明符合要求. 第三步，給出明確答案. 第四步，反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯點(diǎn)和答題規(guī)范. 另一種是：從結(jié)論出發(fā)，“要使什么成立”， “只需使什么成立”，尋求使結(jié)論成立的充分條件，類似于分析法. 【解題過程】解 當(dāng) E 為棱 AB 的中點(diǎn)時， DE ∥平面 AB 1 C 1 . 證明如下：如圖所示，取 BB 1 的中點(diǎn) F ，

連接 EF ， FD ， DE . ∵ D ， E ， F 分別為 CC 1 ， AB ， BB 1 的中點(diǎn)， ∴ EF ∥ AB 1 . ∵ AB 1 平面 AB 1 C 1 ， EF 平面 AB 1 C 1 ， ∴ EF ∥平面 AB 1 C 1 . 同理可證 FD ∥平面 AB 1 C 1 . ∵ EF ∩ FD ＝ F ，∴平面 EFD ∥平面 AB 1 C 1 . ∵ DE 平面 EFD ，∴ DE ∥平面 AB 1 C 1 .

如圖，在正方體 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， O 為底面 ABCD 的中心， P 是 DD 1 的中點(diǎn)，設(shè) Q 是 CC 1 上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn) Q 在什么位置時，平面 D 1 BQ ∥平面 PAO? 解 當(dāng) Q 為 CC 1 的中點(diǎn)時，平面 D 1 BQ ∥平面 PAO .證明如下：

∵ Q 為 CC 1 的中點(diǎn)， P 為 DD 1 的中點(diǎn)， ∴ QB ∥ PA . ∵ P 、 O 分別為 DD 1 、 DB 的中點(diǎn)， ∴ D 1 B ∥ PO . 又∵ D 1 B 平面 PAO ， PO 平面 PAO ， QB 平面 PAO ， PA 平面 PAO ， ∴ D 1 B ∥平面 PAO ， QB ∥平面 PAO ， 又 D 1 B ∩ QB ＝ B ， D 1 B 、 QB 平面 D 1 BQ ， ∴平面 D 1 BQ ∥平面 PAO . 錯解分析

例題：如圖所示，在正方體 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 是棱 DD 1 的中點(diǎn) 問：在棱 C 1 D 1 上是否存在一點(diǎn) F ，使 B 1 F ∥平面 A 1 BE ？證明你的結(jié)論. 【錯解】因?yàn)樵跓o點(diǎn)使 B 1 F 與之平行，所以不存在點(diǎn) F 滿足條件 錯解歸因

未找出相對應(yīng)的點(diǎn)，未找到切入口 規(guī)范解答 解 在棱 C 1 D 1 上存在點(diǎn) F ，使 B 1 F ∥平面 A 1 BE . 事實(shí)上，如圖所示，分別取 C 1 D 1 和 CD 的 中點(diǎn) F ， G ，連接 B 1 F ， EG ， BG ， CD 1 ， FG . 因 A 1 D 1 ∥ B 1 C 1 ∥ BC ，且 A 1 D 1 ＝ BC ，所以四邊形 A 1 BCD 1 是平行四邊形，因此 D 1 C ∥ A 1 B .

又 E ， G 分別為 D 1 D ， CD 的中點(diǎn)，

所以 EG ∥ D 1 C ，從而 EG ∥ A 1 B . 這說明 A 1 ， B ， G ， E 共面.所以 BG 平面 A 1 BE .

因 四 邊 形 C 1 CDD 1 與B 1 BCC 1 皆為正方形， F ， G 分別為 C 1 D 1 和 CD 的中點(diǎn)，所以 FG ∥ C 1 C ∥ B 1 B ，且 FG ＝ C 1 C ＝ B 1 B ，因此四邊形 B 1 BGF 是平行四邊形，所以 B 1 F ∥ BG ， B 1 F 平面 A 1 BE ， BG 平面 A 1 BE ， 故 B 1 F ∥平面 A 1 BE . 成功破障(2015·鹽城模擬) 如圖所示，斜三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，點(diǎn) D ， D 1 分別為 AC ， A 1 C 1 上

的點(diǎn)． (1)當(dāng) A1 D 1D 1 C 1 等于何值時， BC1 ∥平面 AB 1 D 1?

(2)若平面 BC 1 D ∥平面 AB 1 D 1 ，求 ADDC 的值．

解 (1)連接 A 1 B ， A 1 B ∩ AB 1 ＝ E ， 連接 D 1 E ，若 BC 1 ∥面 AB 1 D 1 ， 則 BC 1 ∥ D 1 E ，∵ AE ＝ B 1 E ， ∴ A 1 D 1 ＝ D 1 C 1 ，故 A1 D 1D 1 C 1 ＝1. (2)∵面 BC 1 D ∥面 AB 1 D 1 ，面 A 1 BC 1 ∩面 AB 1 D 1 ＝ D 1 E ， ∴ BC 1 ∥ ED 1 ， 又∵ A 1 E ＝ EB ，∴ A 1 D 1 ＝ D 1 C 1 ， ∵面 BC 1 D ∥面 AB 1 D 1 ， AD 1 C 面 ACC 1 A 1 ， DC 1 面 ACC 1 A ， ∴ AD 1 ∥ DC 1 ，∴ AD ＝ D 1 C 1 ，故 AD ＝ DC ，因此 ADDC ＝1 高分跨越 （貴州興義八中 2016 模擬）

方法與規(guī)律 1.平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系

2.直線與平面平行的主要判定方法 (1)定義法；(2)判定定理；(3)面與面平行的性質(zhì). 3.平面與平面平行的主要判定方法 (1)定義法；(2)判定定理；(3)推論；(4) a ⊥ α ， a ⊥ β α ∥ β . 應(yīng)用體驗(yàn) 1.(2015·德州一中上學(xué)期 1 月月考)已知 m ， n 為不同的直線， α ， β 為不同的平面，則下列說法正確的是(

) A． m α ， n ∥ m n ∥ α

B． m α ， n ⊥ m n ⊥ α

C． m α ， n β ， n ∥ m α ∥ β

D． n β ， n ⊥ α α ⊥ β

2．(2015·江門模擬)如圖，四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分別是 AB 1 ， BC 1 的中點(diǎn)．下列結(jié)論中，正確的是(

) A． EF ⊥ BB 1 B． EF ∥平面 ACC 1 A 1

C． EF ⊥ BD D． EF ⊥平面 BCC 1 B 1

3. (2015·寧波期末調(diào)研)在空間中，設(shè) m ， n 是不同的直線， α ， β 是不同的平面，且 m α ，n β ，則下列命題正確的是(

) A．若 m ∥ n ，則 α ∥ β

B．若 m ， n 異面，則 α ， β 平行 C．若 m ， n 相交，則 α ， β 相交

D．若 m ⊥ n ，則 α ⊥ β

4.

已知棱長為 1 的正方體 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F ， M 分別是 AB 、 AD 、 AA 1 的中點(diǎn)，又 P 、 Q 分別在線段 A 1 B 1 、 A 1 D 1 上，且 A 1 P ＝ A 1 Q ＝ x (0< x <1)．設(shè)平面 MEF ∩平面 MPQ ＝ l ，現(xiàn)有下列結(jié)論：

① l ∥平面 ABCD ； ② l ⊥ AC ； ③直線 l 與平面 BCC 1 B 1 不垂直； ④當(dāng) x 變化時， l 不是定直線． 其中不成立的結(jié)論是________．(寫出所有不成立結(jié)論的序號) 5．（全國卷Ⅲ文 2016）

如圖，四棱錐 中， 平面 ， ，， ， 為線段 上一點(diǎn)， ， 為 的中點(diǎn)． （I）證明平面 MN∥ ；[來源:學(xué)科網(wǎng)] （II）求四面體 的體積.

P ABC PA ABCD AD BC3 AB AD AC 4 PA BC M AD 2 AM MD N PCPABN BCM

復(fù)習(xí)與鞏固 A 組

一、選擇題 1.已知直線 a ， b ， c 及平面 α ， β ，下列條件中，能使 a ∥ b 成立的是

(

)

A. a ∥ α ， b α

B. a ∥ α ， b ∥ α

C. a ∥ c ， b ∥ c

D. a ∥ α ， α ∩ β ＝ b

2.平面 α ∥平面 β ，點(diǎn) A ， C ∈ α ， B ， D ∈ β ，則直線 AC ∥直線 BD 的充要條件是(

) A. AB ∥ CD

B. AD ∥ CB

C. AB 與 CD 相交

D. A ， B ， C ， D 四點(diǎn)共面 3.設(shè) m ， n 為兩條直線， α ， β 為兩個平面，則下列四個命題中，正確的命題是

(

) A.若 m α ， n α ，且 m ∥ β ， n ∥ β ，則 α ∥ β

B.若 m ∥ α ， m ∥ n ，則 n ∥ α

C.若 m ∥ α ， n ∥ α ，則 m ∥ n

D.若 m ， n 為兩條異面直線，且 m ∥ α ， n ∥ α ， m ∥ β ， n ∥ β ，則 α ∥ β

二、填空題 4.下列命題中正確的命題是________.(填序號) ①直線 l 上有兩點(diǎn)到平面 α 距離相等，則 l ∥ α ； ②平面 α 內(nèi)不在同一直線上三點(diǎn)到平面 β 的距離相等，則 α ∥ β ； ③垂直于同一直線的兩個平面平行； ④平行于同一直線的兩平面平行； ⑤若 a 、 b 為異面直線， a α ， b ∥ α ， b β ， a ∥ β ，則 α ∥ β . 5.已知平面 α ∥平面 β ， P 是 α 、 β 外一點(diǎn)，過點(diǎn) P 的直線 m 與 α 、 β 分別交于 A 、 C ，過點(diǎn) P 的直線 n 與 α 、 β 分別交于 B 、 D 且 PA ＝6， AC ＝9， PD ＝8，則 BD 的長為________. 6.已知四個命題：

①若直線 l ∥平面 α ，則直線 l 的垂線必平行于平面 α ； ②若直線 l 與平面 α 相交，則有且只有一個平面經(jīng)過 l 與平面 α 垂直； ③若一個三棱錐每兩個相鄰側(cè)面所成的角都相等，則這個三棱錐是正三棱錐； ④若四棱柱的任意兩條對角線相交且互相平分，則這個四棱柱為平行六面體. 其中正確的命題是________.(填序號) 三、解答題 7.如圖，在四面體 S — ABC 中， E 、 F 、 O 分 別為 SA 、 SB 、 AC 的中點(diǎn)， G 為 OC 的中點(diǎn)， 證明：

FG ∥平面 BEO .

8.如圖所示，四棱錐 P — ABCD 的底面是邊長 為 a 的正方形，側(cè)棱 PA ⊥底面 ABCD ，側(cè)面 PBC 內(nèi)有 BE ⊥ PC 于 E ，且 BE ＝63a ，試在 AB 上找一點(diǎn) F ，使 EF ∥平面 PAD .

B 組

一、選擇題 1.設(shè) m ， n 是平面 α 內(nèi)的兩條不同直線； l 1 ， l 2 是平面 β 內(nèi)的兩條相交直線，則 α ∥ β 的一個充分而不必要條件是

(

) A. m ∥ β 且 l 1 ∥ α

B. m ∥ l 1 且 n ∥ l 2

C. m ∥ β 且 n ∥ β

D. m ∥ β 且 n ∥ l 2

2.給出下列關(guān)于互不相同的直線 l 、 m 、 n 和平面 α 、 β 、 γ 的三個命題：

①若 l 與 m 為異面直線， l α ， m β ，則 α ∥ β ； ②若 α ∥ β ， l α ， m β ，則 l ∥ m ； ③若 α ∩ β ＝ l ， β ∩ γ ＝ m ， γ ∩ α ＝ n ， l ∥ γ ，則 m ∥ n . 其中真命題的個數(shù)為

(

) A.3

B.2

C.1

D.0 3.下面四個正方體圖形中， A ， B 為正方體的兩個頂點(diǎn)， M ， N ， P 分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出 AB ∥平面 MNP 的圖形是

(

)

A.①②

B.①④

C.②③

D.③④ 二、填空題 4.如圖所示， ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 是棱長 為 a 的正方體， M 、 N 分別是下底面 的棱 A 1 B 1 、 B 1 C 1 的中點(diǎn)， P 是上底面 的棱 AD 上的一點(diǎn)， AP ＝ a3 ，過P 、 M 、 N 的平面交上底面于 PQ ， Q 在 CD 上， 則 PQ ＝________. 5.如圖所示，在正四棱柱 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 、 F 、 G 、 H 分別是棱 CC 1 、 C 1 D 1 、 D 1 D 、 DC 的中點(diǎn)， N 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) M 在四邊 形 EFGH 及其內(nèi)部運(yùn)動，則 M 滿足條件___ ___________時，有 MN ∥平面 B 1 BDD 1 . 6.若 m 、 n 為兩條不重合的直線， α 、 β 為兩個不重合的平面，則下列命題中真命題的序號是________. ①若 m 、 n 都平行于平面 α ，則 m 、 n 一定不是相交直線； ②若 m 、 n 都垂直于平面 α ，則 m 、 n 一定是平行直線； ③已知 α 、 β 互相平行， m 、 n 互相平行，若 m ∥ α ，則 n ∥ β ； ④若 m 、 n 在平面 α 內(nèi)的射影互相平行，則 m 、 n 互相平行. 7.對于平面 M 與平面 N ，有下列條件：① M 、 N 都垂直于平面 Q ；② M 、 N 都平行于平面 Q ；③ M內(nèi)不共線的三點(diǎn)到 N 的距離相等；④ l 為一條直線，且 l ∥ M ， l ∥ N ；⑤ l ， m 是異面直線，且 l ∥ M ， m ∥ M ； l ∥ N ， m ∥ N ，則可判定平面 M 與平面 N 平行的條件是________(填正確結(jié)論的序號). 三、解答題 8.如圖，已知平行四邊形 ABCD 中， BC ＝6， 正方形 ADEF 所在平面與平面 ABCD 垂直， G ， H 分別是 DF ， BE 的中點(diǎn). (1)求證：

GH ∥平面 CDE ； (2)若 CD ＝2， DB ＝4 2，求四棱錐 F — ABCD 的體積.

C 組

1. (2015·四川成都高三摸底)已知 a ， b 是兩條不同直線， α 是一個平面，則下列說法正確的是(

) A．若 a ∥ b ， b α ，則 a ∥ α

B．若 a ∥ α ， b α ，則 a ∥ b

C．若 a ⊥ α ， b ⊥ α ，則 a ∥ b

D．若 a ⊥ b ， b ⊥ α ，則 a ∥ α

2．(2016·浙江溫州十校期末聯(lián)考)已知 α ， β 是兩個不同的平面， m ， n 是兩條不同的直線，則下列命題不正確的是(

) A．若 m ∥ n ， m ⊥ α ，則 n ⊥ α

B．若 m ∥ α ， α ∩ β ＝ n ，則 m ∥ n

C．若 m ⊥ β ， m ⊥ α ，則 α ∥ β

D．若 m ⊥ α ， m β ，則 α ⊥ β

3．(2016·河北衡水模擬)已知三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的側(cè)棱與底面垂直，體積為 94 ，底面是邊長為 3的正三角形．若 P

為底面 A 1 B 1 C 1 的中心，則 PA 與平面 ABC 所成角的大小為(

) A. 5π12

B. π3

C. π4

D. π6 4．(2016·安徽黃山模擬) 如圖所示，在正方體 ABCD － A ′ B ′ C ′ D ′中，棱 AB ， BB ′，B ′ C ′， C ′ D ′的中點(diǎn)分別是 E ， F ， G ， H . (1)求證：

AD ′∥平面 EFG ； (2)求證：

A ′ C ⊥平面 EFG ：

(3)判斷點(diǎn) A ， D ′， H ， F 是否共面？并說明理由．

5．(2015·湖北八市模擬)

如圖， ABC － A 1 B 1 C 1 是底面邊長為 2，高為32的正三棱柱，經(jīng)過 AB 的截面與上底面相交

于 PQ ，設(shè) C 1 P ＝ λC 1 A 1 (0< λ <1)． (1)證明：

PQ ∥ A 1 B 1 ； (2)是否存在 λ ，使得平面 CPQ ⊥截面 APQB ？如果存在，求出 λ 的值；如果不存在，請說明理由．