2023四川省成都市第七中學(xué)高三一診模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題(word版)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（ ）

A.B.C.D.

2.設(shè)集合，，則（ ）

A.B.C.D.

3.函數(shù)的圖象大致是（ ）

A.B.

C.D.

4.“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在探求球體體積時(shí)構(gòu)造的一個(gè)封閉幾何體，它由兩個(gè)等徑正貫的圓柱體的側(cè)面圍成，其直視圖如圖（其中四邊形是為體現(xiàn)直觀性而作的輔助線）.當(dāng)“牟合方蓋”的正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，其俯視圖為（ ）

1. B.

C.D.

5.執(zhí)行下邊的算法程序，若輸出的結(jié)果為120，則橫線處應(yīng)填入（ ）

A.B.C.D.

6.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（ ）

A.-1B.C.1D.

7.“”是“”的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

8.已知向量，，則在方向上的投影為（ ）

A.2 B.-2C.D.

9.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，若，則的值為（ ）

A.B.2 C.D.3

10.設(shè)分別是的內(nèi)角的對邊，已知，則的大小為（ ）

A.B.C.D.

11.已知正三棱錐的高為6，內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切）表面積為，則其底面邊長為（ ）

A.18B.12C.D.

12.已知函數(shù)（其中）的最小正周期為，函數(shù)，若對，都有，則的最小正值為（ ）

A.B.C.D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某學(xué)校初中部共120名教師，高中部共180名教師，其性別比例如圖所示，已知按分層抽樣方法得到的工會(huì)代表中，高中部女教師有6人，則工會(huì)代表中男教師的總?cè)藬?shù)為________.

14.已知圓與軸相切，圓心在軸的正半軸上，并且截直線所得的弦長為2，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________.

15.已知均為銳角，且，則的最小值是________.

16.若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

17.正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，.

求的通項(xiàng)公式；

設(shè)為的前項(xiàng)和，，求.

18.“黃梅時(shí)節(jié)家家雨”“梅雨如煙暝村樹”“梅雨暫收斜照明”……江南梅雨的點(diǎn)點(diǎn)滴滴都流潤著濃烈的詩情.每年六、七月份，我國長江中下游地區(qū)進(jìn)入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié)，如圖是江南鎮(zhèn)2009～2018年梅雨季節(jié)的降雨量（單位：）的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計(jì)總體概率，解答下列問題：

“梅實(shí)初黃暮雨深”.請用樣本平均數(shù)估計(jì)鎮(zhèn)明年梅雨季節(jié)的降雨量；

“江南梅雨無限愁”.鎮(zhèn)的楊梅種植戶老李也在犯愁，他過去種植的甲品種楊梅，他過去種植的甲品種楊梅，畝產(chǎn)量受降雨量的影響較大（把握超過八成）.而乙品種楊梅2009～2018年的畝產(chǎn)量（/畝）與降雨量的發(fā)生頻數(shù)（年）如列聯(lián)表所示（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）.請你幫助老李排解憂愁，他來年應(yīng)該種植哪個(gè)品種的楊梅受降雨量影響更??？

（完善列聯(lián)表，并說明理由）.

（參考公式：，其中）

19.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于另一點(diǎn)，設(shè)，過橢圓中心作直線的垂線交于點(diǎn)，求證：為定值.

20.如圖，在多面體中，和交于一點(diǎn)，除以外的其余各棱長均為2.

作平面與平面的交線，并寫出作法及理由；

求證：；

若平面平面，求多面體的體積.

21.已知函數(shù)，其中為常數(shù).

若曲線在處的切線斜率為-2，求該切線的方程；

求函數(shù)在上的最小值.

請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.

22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)標(biāo)方程為（其中為參數(shù)，且），在以為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系的單位長度相同）中，直線的極坐標(biāo)方程為.

求曲線的極坐標(biāo)方程；

求直線與曲線的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).

23.[選修4-5：不等式選講]

已知函數(shù)，且.

若，求的最小值；

若，求證：.

第七中學(xué)2019屆高三一診模擬考試

數(shù)學(xué)（文）試題參考答案

一、選擇題

1-5:6-10:11、12：

二、填空題

13.12 14.15.16.

三、解答題

17.解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則

由及得，化簡得，解得或（舍去）.

所以的通項(xiàng)公式為.

由得，.

所以.

18.解：頻率分布直方圖中第四組的頻率為.

所以用樣本平均數(shù)估計(jì)鎮(zhèn)明年梅雨季節(jié)的降雨量為

.

根據(jù)頻率分布直方圖可知，降雨量在200～400之間的頻數(shù)為.

進(jìn)而完善列聯(lián)表如圖.

.

故認(rèn)為乙品種楊梅的畝產(chǎn)量與降雨量有關(guān)的把握不足75%.

而甲品種楊梅降雨量影響的把握超過八成，故老李來年應(yīng)該種植乙品種楊梅.

19.解：因?yàn)闄E圓的離心率，且，所以.

又.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

設(shè)直線的方程為（一定存在，且）.

代入，并整理得.

解得，于是.

又，所以的斜率為.

因?yàn)?img alt="2023四川省成都市第七中學(xué)高三一診模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題" class="lazy" data-src="https://gsimg.5n6.cn/ziyuan/wenjian/img/2023/05/20230522150000710141.jpg"/>，所以直線的方程為.

與方程聯(lián)立，解得.

故為定值.

20.解：過點(diǎn)作（或）的平行線，即為所求直線.

和交于一點(diǎn)，四點(diǎn)共面.又四邊形邊長均相等.

四邊形為菱形，從而.

又平面，且平面，平面.

平面，且平面平面，.

證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，.，，，.

又，平面，平面，故.

又四邊形為菱形，.又，平面.

又平面，.

解：平面平面，平面.

故多面體的體積.

21.解：求導(dǎo)得，由解得.

此時(shí)，所以該切線的方程為，即為所求.

對，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

（1）當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故.

（2）當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故.

（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img alt="2023四川省成都市第七中學(xué)高三一診模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題" class="lazy" data-src="https://gsimg.5n6.cn/ziyuan/wenjian/img/2023/05/20230522150001528399.jpg"/>，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一，使得，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故的最小值等于和中較小的一個(gè)值.

①當(dāng)時(shí)，，故的最小值為.

②當(dāng)時(shí)，，故的最小值為.

綜上所述，函數(shù)的最小值.

22.解：消去參數(shù)，得曲線的直角坐標(biāo)方程.

將，代入，得.

所以曲線的極坐標(biāo)方程為.

將與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，消去得.

展開得.

因?yàn)?img alt="2023四川省成都市第七中學(xué)高三一診模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題" class="lazy" data-src="https://gsimg.5n6.cn/ziyuan/wenjian/img/2023/05/20230522150001768296.jpg"/>，所以.

于是方程的解為，即.

代入可得，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)為.

23.解：由柯西不等式得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），所以，即的最小值為；

因?yàn)?img alt="2023四川省成都市第七中學(xué)高三一診模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題" class="lazy" data-src="https://gsimg.5n6.cn/ziyuan/wenjian/img/2023/05/20230522150002754240.jpg"/>，所以

，故結(jié)論成立.

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