2021年高考數(shù)學(xué)北京卷堅(jiān)持貫徹落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，實(shí)現(xiàn)“教”“學(xué)”“考”一體化的目標(biāo)，形成了“一個(gè)中心，兩個(gè)維度，六大素養(yǎng)，四條路徑”的評(píng)價(jià)體系，即以立德樹(shù)人為中心，以知識(shí)與思想、文化與應(yīng)用為內(nèi)容，以數(shù)學(xué)學(xué)科六大素養(yǎng)為核心，以突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、精選試題素材、創(chuàng)新設(shè)問(wèn)方式、凸顯問(wèn)題解決能力為四條實(shí)施路徑。

一個(gè)中心：立德樹(shù)人

北京卷命題緊扣時(shí)代發(fā)展，選擇重大現(xiàn)實(shí)事件入題，發(fā)揮學(xué)科特點(diǎn)，以立德樹(shù)人為命題的宗旨，特別關(guān)注了德育、美育和勞動(dòng)教育。

2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立一百周年。第6題以黨旗為背景，考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)。同時(shí)，黨旗寬與長(zhǎng)的比值2:3是最接近黃金比的、最簡(jiǎn)的相鄰整數(shù)之比，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與藝術(shù)的完美結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)美。結(jié)合黨旗知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)史明理、學(xué)史增信，堅(jiān)定理想信念，擔(dān)當(dāng)時(shí)代責(zé)任，厚植愛(ài)國(guó)主義情懷。

第8題以學(xué)生綜合實(shí)踐活動(dòng)為背景，通過(guò)自制雨量器，收集雨水，測(cè)量降水量，將勞動(dòng)教育與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容有機(jī)融合。從而引導(dǎo)學(xué)生熱愛(ài)勞動(dòng)，崇尚勞動(dòng)，助力培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人。

兩個(gè)維度：知識(shí)與思想、文化與應(yīng)用

一、突出對(duì)數(shù)學(xué)主干知識(shí)和思想方法的考查

北京卷突出對(duì)主干知識(shí)的考查。如對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、平面解析幾何、立體幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、數(shù)列、其他（不等式、集合、復(fù)數(shù)、二項(xiàng)式定理、充要條件、向量）這些主干知識(shí)進(jìn)行重點(diǎn)考查，充分體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)考查的基礎(chǔ)性、全面性和綜合性。

北京卷從數(shù)學(xué)學(xué)科整體意義和思想價(jià)值的高度立意，有效檢測(cè)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度。如第15題考查數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)與變化思想，第17題第（Ⅱ）問(wèn)和第20題第（Ⅱ）問(wèn)考查了函數(shù)與方程的思想，第9題體現(xiàn)的是化歸與轉(zhuǎn)化思想，第21題考查了歸納與綜合、特殊與一般的思想，第18題考查了或然與必然的思想。

二、關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查

北京卷突出對(duì)數(shù)學(xué)文化和應(yīng)用的考查。試題關(guān)注社會(huì)，關(guān)注學(xué)生發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。如第8題以測(cè)降雨量為題材，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，以及數(shù)學(xué)與地理學(xué)科的關(guān)系。同時(shí)該題材也與我國(guó)《數(shù)書(shū)九章》的“天池盆測(cè)雨”的背景有關(guān)，通過(guò)“以史育人”達(dá)到“以文化人”的目的。

第18題以新冠病毒的“10合1”與“5合1”核酸檢測(cè)技術(shù)為背景，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在大規(guī)模排查新冠病毒感染者的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成在日常生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)慣。

六大素養(yǎng)：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

北京卷通過(guò)設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)性和綜合性問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六大素養(yǎng)的綜合考查。

針對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，北京卷設(shè)計(jì)了至少5道試題。如第10題，考查數(shù)列項(xiàng)數(shù)的最大值問(wèn)題。題目中只給定了數(shù)列的前n項(xiàng)和以及數(shù)列的遞增性，需要學(xué)生綜合分析所給條件，要使得項(xiàng)數(shù)最大，首項(xiàng)必須盡可能小，遞增的幅度也需盡可能小，進(jìn)而逐步抽象出等差數(shù)列模型。

針對(duì)邏輯推理素養(yǎng)，北京卷設(shè)計(jì)了至少3道試題。如第3題，以函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)最值以及充要條件為載體，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)以及邏輯推理的能力。又如第21題第（Ⅰ）問(wèn)，主要考查學(xué)生面對(duì)新情境的學(xué)習(xí)能力；第（Ⅱ）問(wèn)需要學(xué)生特殊化三個(gè)性質(zhì)；第（Ⅲ）問(wèn)需要學(xué)生會(huì)用形式化的語(yǔ)言去推證一般的結(jié)論。

針對(duì)直觀想象素養(yǎng)，北京卷設(shè)計(jì)了至少5道試題。如第13題，考查的是向量的運(yùn)算?；谙蛄烤哂袔缀魏痛鷶?shù)雙重特征，本題既可以用坐標(biāo)計(jì)算，也可以借助幾何直觀解決。

針對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，北京卷設(shè)計(jì)了至少9道試題。如第12題，以拋物線為載體，考查拋物線的定義、焦點(diǎn)等知識(shí)。本題既可以通過(guò)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)、根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求解，也可以根據(jù)拋物線的定義直接求解。

針對(duì)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，北京卷設(shè)計(jì)了第18題。本題以“10合1”為切入點(diǎn)設(shè)計(jì)了第（Ⅰ）問(wèn)。利用“10合1”的檢測(cè)方式，如果新冠病毒感染者在同一組，只需檢測(cè)20次；如果新冠病毒感染者不在同一組，只需檢測(cè)30次。而根據(jù)傳統(tǒng)的檢測(cè)方法，需要檢測(cè)100次。因此，“10合1”的檢測(cè)方式效率大幅提高。

針對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，北京卷設(shè)計(jì)了至少3道試題。如第8題的降雨量測(cè)量的體積模型；第21題第（Ⅲ）問(wèn)中歸納、建構(gòu)的“自變量為正整數(shù)的取整函數(shù)”的數(shù)列模型。

總之，北京卷通過(guò)設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)性、探究性和綜合性問(wèn)題，體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重點(diǎn)考查。

四條路徑：課堂、素材、呈現(xiàn)方式、問(wèn)題解決

一、在內(nèi)容上，試題突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，回歸課堂教學(xué)

北京卷試題內(nèi)容緊扣課標(biāo)和教材，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，不出偏難怪題。選擇題、填空題主要考查教材和課標(biāo)中的基礎(chǔ)知識(shí)和方法。第16題是正弦定理、余弦定理應(yīng)用的問(wèn)題，第17題是立體幾何的位置關(guān)系與角度問(wèn)題，第19題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的切線、單調(diào)性與最值問(wèn)題，第20題是直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題。這四道題所考查的都是高中的主干知識(shí)，使用的方法是通性通法。這種考查方式，有利于減少死記硬背和機(jī)械刷題的現(xiàn)象，切實(shí)減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

試題符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律以及學(xué)生的實(shí)際，在問(wèn)題設(shè)計(jì)時(shí)，通過(guò)層層遞進(jìn)，為學(xué)生的思考搭建臺(tái)階。如第12題和第13題都設(shè)置兩空，第一空為第二空適當(dāng)做鋪墊。第21題第（Ⅰ）問(wèn)，只要能夠正確理解題意，大部分學(xué)生能夠完成；第（Ⅱ）問(wèn)要把抽象的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成具體的數(shù)值，部分學(xué)生能夠完成；第（Ⅲ）問(wèn)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出較高要求。因此，該題的層層設(shè)問(wèn)，為不同水平的學(xué)生搭建了施展才華的舞臺(tái)。

二、在素材選取上，試題源于現(xiàn)實(shí)世界和學(xué)生生活

北京卷試題素材選取真實(shí)、自然、合理，突出對(duì)學(xué)習(xí)能力的考查。如第6題的黨旗五種通用規(guī)格，融入建黨百年主題教育的素材；第8題的24小時(shí)的降雨量及其所屬等級(jí)；第18題的“10合1”與“5合1”新冠病毒核酸檢測(cè)方法，把偉大抗疫精神等作為立德樹(shù)人的重要載體，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

三、在呈現(xiàn)方式上，增強(qiáng)試題的選擇性和開(kāi)放性

四、試題凸顯對(duì)問(wèn)題解決能力的考查，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ)

北京卷的命題，不僅體現(xiàn)人才的選拔功能，還注重價(jià)值引領(lǐng)，凸顯對(duì)問(wèn)題解決能力的考查，引導(dǎo)學(xué)生去探索，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決職場(chǎng)與生活中的實(shí)際問(wèn)題。

如第18題，緊密聯(lián)系社會(huì)重大問(wèn)題，具有拓展性。是不是“10合1”總比“5合1”的效率高？在大規(guī)模檢測(cè)中是不是可以提出更高效的“k合1”方法，比如“100合1”？諸如此類(lèi)的問(wèn)題會(huì)引發(fā)學(xué)生持續(xù)的探索和研究，從而發(fā)展他們的發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題能力。

第21題以數(shù)列為載體，考查歸納概括、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有助于引導(dǎo)學(xué)生問(wèn)題解決能力的發(fā)展，從而由做題到做事，為未來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定良好基礎(chǔ)。

2021年是新高考改革的第二年，北京卷繼續(xù)保持“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”的特點(diǎn)，堅(jiān)持“立德樹(shù)人，服務(wù)選拔和引導(dǎo)教學(xué)”的命題指導(dǎo)原則，穩(wěn)中求進(jìn)，形成了“一個(gè)中心，兩個(gè)維度，六大素養(yǎng)，四條路徑”的評(píng)價(jià)體系，圍繞強(qiáng)化中心，豐富維度內(nèi)涵，突出素養(yǎng)，優(yōu)化路徑，促進(jìn)中學(xué)對(duì)“四具備”人才的培養(yǎng)，引導(dǎo)教學(xué)在“六個(gè)方面”下功夫，助力學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展。

北京市2021年高考數(shù)學(xué)試卷評(píng)析：

整體上保穩(wěn)定細(xì)微處見(jiàn)變化

（基教研專(zhuān)家解析）

2021年高考北京數(shù)學(xué)試卷整體上符合國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)要求，結(jié)合北京市高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，知識(shí)要素覆蓋全面，數(shù)學(xué)素養(yǎng)考查突出。相比于去年，今年的數(shù)學(xué)試卷在結(jié)構(gòu)、考試內(nèi)容和難度上保持一致。題型依然是選擇題、填空題和解答題，每一部分題型的難度預(yù)設(shè)基本符合從易到難的分布。試題的表述形式簡(jiǎn)潔、規(guī)范，圖文準(zhǔn)確并相互匹配，呈現(xiàn)方式及作答方式堅(jiān)持多樣化，延續(xù)了北京數(shù)學(xué)試卷“大氣、平和”的特點(diǎn)。命題的總體穩(wěn)定有利于考生穩(wěn)定心態(tài)，正常發(fā)揮，考出自己的數(shù)學(xué)真實(shí)水平。

1.文化浸潤(rùn)，立德樹(shù)人

試卷第6題，以中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗的圖案和規(guī)格為背景考查數(shù)列知識(shí)，體現(xiàn)了《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》的要求，著眼于傳承紅色基因，引導(dǎo)考生關(guān)注黨的知識(shí)和歷史。第16題以常規(guī)三角函數(shù)為背景，改變相對(duì)固化的試題形式，設(shè)計(jì)考生自主選擇已知條件的任務(wù)，增強(qiáng)了試題的開(kāi)放性，有助于減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象，有助于減輕學(xué)生過(guò)重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。第8題是設(shè)計(jì)了收集雨水的應(yīng)用性題目，將環(huán)境保護(hù)教育、生態(tài)文明等主題教育與數(shù)學(xué)測(cè)試試題有機(jī)結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然的發(fā)展理念，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的教育價(jià)值，貫徹了《中小學(xué)德育工作指南》。

2.穩(wěn)中有變，適度創(chuàng)新

相比去年，今年的數(shù)學(xué)試題在保持整體穩(wěn)定的基礎(chǔ)上體現(xiàn)了適度創(chuàng)新。例如將結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題放在了解答題第一題，雖然難度不大，但與去年不同的是所給三個(gè)條件中，有一個(gè)是不成立的，而另外兩組成立的條件在解法上也有所不同，為考生展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維能力搭建了平臺(tái)。再如第3題，考查了常用邏輯用語(yǔ)的必要條件、充分條件、充要條件的內(nèi)容，與去年試題相比，位置相對(duì)提前，但降低了考查的難度，更加凸顯了考查考生對(duì)相關(guān)概念的理解和掌握。命題的適度創(chuàng)新，增強(qiáng)了試題的靈活性，為引導(dǎo)教學(xué)、防止題型固化、命題方式固化起到了積極的作用，也有利于對(duì)考生能力素養(yǎng)的考查。

3.重視基礎(chǔ)，突出主干

在考查數(shù)學(xué)的“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）中，突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色，著重考查考生的理性思維能力，發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，重視考查中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和方法的掌握程度，重點(diǎn)考查主干知識(shí)與內(nèi)容。例如，選擇題的前5道題和填空題前3道題，涉及內(nèi)容都是基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，考查了集合、復(fù)數(shù)、充要條件、三視圖、雙曲線性質(zhì)、二項(xiàng)式定理、拋物線性質(zhì)、平面向量等內(nèi)容。在試題設(shè)計(jì)上，這些題目涉及的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)單一、思維相對(duì)簡(jiǎn)單，易于解答。在此基礎(chǔ)上，試卷對(duì)主干內(nèi)容重點(diǎn)考查，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)考查的全面性、基礎(chǔ)性和綜合性，6道解答題中，重點(diǎn)考查了解三角形及立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)、直線與圓錐曲線、數(shù)列綜合等主干內(nèi)容。解答題的前2道題，題干簡(jiǎn)潔表述清晰，集中考查了解三角形和立體幾何的主干知識(shí)及核心概念。

4.強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，考查素養(yǎng)

試卷突出體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，在關(guān)注考生未來(lái)發(fā)展的同時(shí)，以能力立意，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查。如，選擇題第6題和第8題考查考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。第20題考查了解析幾何中的主要方法，需要考生具備一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)和解決問(wèn)題的能力。第15題考查推理判斷能力與靈活運(yùn)用知識(shí)的綜合能力。第21題以數(shù)列為載體，考查歸納概括、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法，考查考生對(duì)新概念的理解，考查考生獲取新知識(shí)的能力和對(duì)新問(wèn)題的理解探究能力。第4題求四面體的表面積需要考生能根據(jù)三視圖作出直觀圖進(jìn)行求解，考查直觀想象素養(yǎng)。第17題以正方體為載體考查直線與平面平行的性質(zhì)及二面角的相關(guān)知識(shí)，考查邏輯推理和運(yùn)算素養(yǎng)。第13題考查的是向量的運(yùn)算。基于向量具有幾何和代數(shù)雙重特征，本題既可以用坐標(biāo)計(jì)算，也可以借助幾何直觀解決。

5.突出數(shù)學(xué)應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值

試卷中設(shè)置源于社會(huì)實(shí)際和考生真實(shí)生活的情境，引導(dǎo)考生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值、美學(xué)價(jià)值。如第6題中，5種規(guī)格中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗的長(zhǎng)與寬的比值都相等，近似于黃金分割，體現(xiàn)出黨旗與數(shù)學(xué)之美的結(jié)合。第8題以學(xué)生綜合實(shí)踐活動(dòng)切入，通過(guò)計(jì)算圓錐形量雨器內(nèi)雨水的體積求出降雨量，既提供了學(xué)習(xí)生活中解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的事例，又考查了考生分析和解決問(wèn)題的能力。再例如第18題以當(dāng)前我國(guó)常用的大規(guī)模核酸檢測(cè)“k合1”方案為情境，求解檢驗(yàn)次數(shù)，研究分布列和期望，尤其是對(duì)“10合1”與“5合1”兩個(gè)方案的對(duì)比，感受方案選擇與感染人數(shù)的關(guān)系，既考查了考生概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)和思想方法，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)的優(yōu)化作用。

縱觀整份試卷，保持了北京試卷綜合、靈活的特色，穩(wěn)中求變。在突出基本知識(shí)、基本技能和基本思想方法考查的同時(shí)，突出考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值及學(xué)科育人價(jià)值，給不同能力水平的考生提供了展示的平臺(tái)，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)起到了積極的引導(dǎo)作用。

點(diǎn)評(píng)專(zhuān)家

北京市東城區(qū)教師研修中心高級(jí)教師張?jiān)S合
北京市朝陽(yáng)區(qū)教育研究中心正高級(jí)教師王文英
北京教育科學(xué)研究院高級(jí)教師黃煒
北京教育科學(xué)研究院高級(jí)教師李青霞
北京教育科學(xué)研究院高級(jí)教師康杰