四點(diǎn)共圓的定義和性質(zhì)   

一、四點(diǎn)共圓的定義和性質(zhì)

1、四點(diǎn)共圓

如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為“四點(diǎn)共圓”。

2、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)

（1）共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等；

（2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；

（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。

3、四點(diǎn)共圓的判定

判定1：若被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓。

判定2：把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可證明這四點(diǎn)共圓。（可以說成：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那么這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓）

判定3：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可證明這四點(diǎn)共圓。（可以說成：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角，那么這四點(diǎn)共圓）

判定4：把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可證明這四點(diǎn)共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連接并延長(zhǎng)成相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可證明這四點(diǎn)共圓。（割線定理的逆定理）

二、四點(diǎn)共圓的相關(guān)例題

銳角$△ABC$的三條高$AD$、$BE$、$CF$交于$H$，在$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$、$H$七個(gè)點(diǎn)中，能組成四點(diǎn)共圓的組數(shù)是___

A．4組 B．5組 C．6組 D．7組

答案：C

解析：以$AH$為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓$(A、F、H、E)$，以$BH$為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓$(B、F、H、D)$，以$CH$為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓$(C、D、H、E)$，以$AB$為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓$(A、E、D、B)$，以$BC$為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓$(B、F、E、C)$，以$AC$為斜邊的兩個(gè)直角三:角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓$(A、F、D、C)$，共6組。故選C。