圓的性質(zhì)總結(jié)1

1 圓的基本性質(zhì)

1 1圓的定義

在平面內(nèi),和某一定點的距離等于定長的點的集合叫做圓周,簡稱為圓;其中定點叫做圓的圓心,廉結(jié)圓心與圓上任意一點的線段叫做半徑

同圓的半徑都相等

連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做這個圓的弦,通過圓心的弦叫做直徑

圓上任意兩點間的部分叫做弧

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧,每一條弧都叫做半圓,大于半圓的弧叫做優(yōu)弧,小于半圓的弧叫做劣弧

由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形

兩個圓全等的充要條件是兩個圓的半徑相等

半徑相等的圓叫做等圓,同圓或等圓的半徑相等

1 2 不共線的三點確定一個圓

經(jīng)過一點可以作無數(shù)個圓

經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓,且圓心都在連結(jié)這兩點的線段的垂直平分線上

定理 過不共線的三個點,可以作且只可以作一個圓

推論 三角形的三邊垂直平分線相交于一點,這個點就是三角形的外心

三角形的三條高線的交點叫三角形的垂心

1.3 垂徑定理

圓是中心對稱圖形;圓心是它的對稱中心

圓是周對稱圖形,任一條通過圓心的直線都是它的對稱軸

定理 垂直于弦的直徑平分這條弦,并且評分弦所對的兩條弧

推論1 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦并且平分弦所對的兩條弧

推論2 弦的垂直平分弦經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條弧

推論3 平分弦所對的一條弧的直徑,垂直評分弦,并且平分弦所對的另一條弧

1.4 弧、弦和弦心距

定理 在同圓或等圓中,相等的弧所對的弦相等,所對的弦的弦心距相等

2 圓與直線的位置關(guān)系

2.1圓與直線的`位置關(guān)系

如果一條直線和一個圓沒有公共點,我們就說這條直線和這個圓相離

如果一條直線和一個圓只有一個公共點,我們就說這條直線和這個圓相切,這條直線叫做圓的切線,這個公共點叫做它們的切點

定理 經(jīng)過圓的半徑外端點,并且垂直于這條半徑的直線是這個圓的切線

定理 圓的切線垂直經(jīng)過切點的半徑

推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

如果一條直線和一個圓有兩個公共點,我們就說,這條直線和這個圓相交,這條直線叫這個圓的割線,這兩個公共點叫做它們的交點

直線和圓的位置關(guān)系只能由相離、相切和相交三種

2.2三角形的內(nèi)切圓

如果一個多邊形的各邊所在的直線,都和一個圓相切,這個多邊形叫做圓的外切多邊形,這個圓叫做多邊形的內(nèi)切圓

定理 三角形的三個內(nèi)角平分線交于一點,這點是三角形的內(nèi)心

三角形一內(nèi)角評分線和其余兩內(nèi)角的外角評分線交于一點,這一點叫做三角形的旁心.以旁心為圓心可以作一個圓和一邊及其他兩邊的延長線相切,所作的圓叫做三角形的旁切圓

2.3切線長定理

定理 從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

2.4圓的外切四邊形

定理 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

定理 如果四邊形兩組對邊的和相等,那么它必有內(nèi)切圓

3 圓與圓的位置關(guān)系

3.1兩圓的位置關(guān)系

在平面內(nèi),不重合的兩圓.它們的位置關(guān)系,有以下五種情況：外離、外切、相交、內(nèi)切、外切

經(jīng)過兩個圓的圓心的直線,叫做兩圓的連心線,兩個圓心之間的距離叫做圓心距

定理 兩圓的連心線是兩圓的對稱軸,并且兩圓相切時,它們切點在連心線上

R+r

(2)兩圓外切 d=R+r

(3)兩圓相交 R-rr)

r)

(5)兩圓內(nèi)含 dr)

特殊情況,兩圓是同心圓 d=0

3.2兩圓的公切線

定理 兩圓的兩條外公切線的長相等;兩圓的兩條內(nèi)公切線的長也相等

圓的性質(zhì)總結(jié)2

1.半圓或直徑所對的圓周角是直角.

2.任意一個三角形一定有一個外接圓.

3.在同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的'點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓.

4.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等.

5.同弧所對的圓周角等于圓心角的一半.

6.同圓或等圓的半徑相等.

7.過三個點一定可以作一個圓.

8.長度相等的兩條弧是等弧.

9.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等.

10.經(jīng)過圓心平分弦的直徑垂直于弦。