最恐怖的數(shù)學(xué)定理有喝醉的小鳥、不能撫平的毛球、氣候完全相同的另一端、平分火腿三明治、“你在這里”等。

1.喝醉的小鳥

定理：喝醉的酒鬼總能找到回家的路，喝醉的小鳥則可能永遠(yuǎn)也回不了家。

假設(shè)有一條水平直線，從某個(gè)位置出發(fā)，每次有50%的概率向左走1米，有50%的概率向右走1米。按照這種方式無限地隨機(jī)游走下去，最終能回到出發(fā)點(diǎn)的概率是多少？答案是100%。在一維隨機(jī)游走過程中，只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，我們最終總能回到出發(fā)點(diǎn)。

現(xiàn)在考慮一個(gè)喝醉的酒鬼，他在街道上隨機(jī)游走。假設(shè)整個(gè)城市的街道呈網(wǎng)格狀分布，酒鬼每走到一個(gè)十字路口，都會(huì)概率均等地選擇一條路（包括自己來時(shí)的那條路）繼續(xù)走下去。那么他最終能夠回到出發(fā)點(diǎn)的概率是多少呢？答案也還是100%。剛開始，這個(gè)醉鬼可能會(huì)越走越遠(yuǎn)，但最后他總能找到回家路。

不過，醉酒的小鳥就沒有這么幸運(yùn)了。假如一只小鳥飛行時(shí)，每次都從上、下、左、右、前、后中概率均等地選擇一個(gè)方向，那么它很有可能永遠(yuǎn)也回不到出發(fā)點(diǎn)了。事實(shí)上，在三維網(wǎng)格中隨機(jī)游走，最終能回到出發(fā)點(diǎn)的概率只有大約34%。

這個(gè)定理是著名數(shù)學(xué)家波利亞（George Pólya）在1921年證明的。隨著維度的增加，回到出發(fā)點(diǎn)的概率將變得越來越低。在四維網(wǎng)格中隨機(jī)游走，最終能回到出發(fā)點(diǎn)的概率是19.3%，而在八維空間中，這個(gè)概率只有7.3%。

2.不能撫平的毛球

定理：你永遠(yuǎn)不能理順椰子上的毛。

想象一個(gè)表面長(zhǎng)滿毛的球體，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像雞冠一樣的一撮毛或者像頭發(fā)一樣的旋嗎？拓?fù)鋵W(xué)告訴你，這是辦不到的。這叫做毛球定理（hairy ball theorem），它也是由布勞威爾首先證明的。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來說就是，在一個(gè)球體表面，不可能存在連續(xù)的單位向量場(chǎng)。這個(gè)定理可以推廣到更高維的空間：對(duì)于任意一個(gè)偶數(shù)維的球面，連續(xù)的單位向量場(chǎng)都是不存在的。

毛球定理在氣象學(xué)上有一個(gè)有趣的應(yīng)用：由于地球表面的風(fēng)速和風(fēng)向都是連續(xù)的，因此由毛球定理，地球上總會(huì)有一個(gè)風(fēng)速為0的地方，也就是說氣旋和風(fēng)眼是不可避免的。

3.平分火腿三明治

定理：任意給定一個(gè)火腿三明治，總有一刀能把它切開，使得火腿、奶酪和面包片恰好都被分成兩等份。

而且更有趣的是，這個(gè)定理的名字真的就叫做“火腿三明治定理”（ham sandwich theorem）。它是由數(shù)學(xué)家亞瑟斯通（Arthur Stone）和約翰圖基（John Tukey）在1942年證明的，在測(cè)度論中有著非常重要的意義。

火腿三明治定理可以擴(kuò)展到n維的情況：如果在n維空間中有n個(gè)物體，那么總存在一個(gè)n-1維的超平面，它能把每個(gè)物體都分成“體積”相等的兩份。這些物體可以是任何形狀，還可以是不連通的（比如面包片），甚至可以是一些奇形怪狀的點(diǎn)集，只要滿足點(diǎn)集可測(cè)就行了。