拔尖題

13．已知拋物線y＝1a(x－2)(x＋a)(a＞0)與x軸交于點(diǎn)B，C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．

(1)若拋物線過點(diǎn)M(－2，－2)，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)在(1)的條件下，解答下列問題；

①求出△BCE的面積；

②在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)H，使CH＋EH的值最小，直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

14．已知二次函數(shù)y＝mx2＋nx＋p圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是2，與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1<0

(1)求證：n＋4m＝0；

(2)求m，n的值；

0且二次函數(shù)圖象與直線y＝x＋3僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求二次函數(shù)的最大值．

15．在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為(3,4)的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸與B，C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè))，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－5)．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙C的位置關(guān)系，并給出證明；

(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

答案：

13．解：(1)將M(－2，－2)代入拋物線解析式，得

－2＝1a(－2－2)(－2＋a)，

解得a＝4.

(2)①由(1)，得y＝14(x－2)(x＋4)，

當(dāng)y＝0時(shí)，得0＝14(x－2)(x＋4)，

解得x1＝2，x2＝－4.

∵點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)，∴B(－4,0)，C(2,0)．

當(dāng)x＝0時(shí)，得y＝－2，即E(0，－2)．

∴S△BCE＝12×6×2＝6.

②由拋物線解析式y(tǒng)＝14(x－2)(x＋4)，得對稱軸為直線x＝－1，

根據(jù)C與B關(guān)于拋物線對稱軸x＝－1對稱，連接BE，與對稱軸交于點(diǎn)H，即為所求．

設(shè)直線BE的解析式為y＝kx＋b，

將B(－4,0)與E(0，－2)代入，得－4k＋b＝0，b＝－2，

解得k＝－12，b＝－2.∴直線BE的解析式為y＝－12x－2.

將x＝－1代入，得y＝12－2＝－32，

則點(diǎn)H－1，－32.

14．(1)證明：∵二次函數(shù)y＝mx2＋nx＋p圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是2，

∴拋物線的對稱軸為x＝2，即－n2m＝2，

化簡，得n＋4m＝0.

(2)解：∵二次函數(shù)y＝mx2＋nx＋p與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1＜0＜x2，

∴OA＝－x1，OB＝x2，x1＋x2＝－nm，x1?x2＝pm.

令x＝0，得y＝p，∴C(0，p)．∴OC＝|p|.

由三角函數(shù)定義，得tan∠CAO＝OCOA＝－|p|x1，tan∠CBO＝OCOB＝|p|x2.

∵tan∠CAO－tan∠CBO＝1，即－|p|x1－|p|x2＝1.

化簡，得x1＋x2x1?x2＝－1|p|.

將x1＋x2＝－nm，x1?x2＝pm代入，得－nmpm＝－1|p|化簡，得?n＝p|p|＝±1.

由(1)知n＋4m＝0，

∴當(dāng)n＝1時(shí)，m＝－14；當(dāng)n＝－1時(shí)，m＝14.

∴m，n的值為：m＝14，n＝－1(此時(shí)拋物線開口向上)或m＝－14，n＝1(此時(shí)拋物線開口向下)．

(3)解：由(2)知，當(dāng)p＞0時(shí)，n＝1，m＝－14，

∴拋物線解析式為：y＝－14x2＋x＋p.

聯(lián)立拋物線y＝－14x2＋x＋p與直線y＝x＋3解析式得到－14x2＋x＋p＝x＋3，

化簡，得x2－4(p－3)＝0.

∵二次函數(shù)圖象與直線y＝x＋3僅有一個(gè)交點(diǎn)，

∴一元二次方程根的判別式等于0，

即Δ＝02＋16(p－3)＝0，解得p＝3.

∴y＝－14x2＋x＋3＝－14(x－2)2＋4.

當(dāng)x＝2時(shí)，二次函數(shù)有最大值，最大值為4.

15．解：(1)設(shè)此拋物線的解析式為y＝a(x－3)2＋4，

此拋物線過點(diǎn)A(0，－5)，

∴－5＝a(0－3)2＋4，∴a＝－1.

∴拋物線的解析式為y＝－(x－3)2＋4，

即y＝－x2＋6x－5.

(2)拋物線的對稱軸與⊙C相離．

證明：令y＝0，即－x2＋6x－5＝0，得x＝1或x＝5，

∴B(1,0)，C(5,0)．

設(shè)切點(diǎn)為E，連接CE，

由題意，得，Rt△ABO∽R(shí)t△BCE.

∴ABBC＝OBCE，即12＋524＝1CE，

解得CE＝426.

∵以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，⊙C的半徑為r＝d＝426.

426.

則此時(shí)拋物線的對稱軸與⊙C相離．

(3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P(xp，yp)，

∵A(0，－5)，C(5,0)，

∴AC2＝50，

AP2＝(xp－0)2＋(yp＋5)2＝x2p＋y2p＋10yp＋25，CP2＝(xp－5)2＋(yp－0)2＝x2p＋y2p－10xp＋25.

①當(dāng)∠A＝90°時(shí)，在Rt△CAP中，

由勾股定理，得AC2＋AP2＝CP2，

∴50＋x2p＋y2p＋10yp＋25＝x2p＋y2p－10xp＋25，

整理，得xp＋yp＋5＝0.

∵點(diǎn)P(xp，yp)在拋物線y＝－x2＋6x－5上，

∴yp＝－x2p＋6xp－5.

∴xp＋(－x2p＋6xp－5)＋5＝0，

解得xp＝7或xp＝0，∴yp＝－12或yp＝－5.

∴點(diǎn)P為(7，－12)或(0，－5)(舍去)．

②當(dāng)∠C＝90°時(shí)，在Rt△ACP中，

由勾股定理，得AC2＋CP2＝AP2，

∴50＋x2p＋y2p－10xp＋25＝x2p＋y2p＋10yp＋25，

整理，得xp＋yp－5＝0.

∵點(diǎn)P(xp，yp)在拋物線y＝－x2＋6x－5上，

∴yp＝－x2p＋6xp－5，

∴xp＋(－x2p＋6xp－5)－5＝0，

解得xp＝2或xp＝5，∴yp＝3或yp＝0.

∴點(diǎn)P為(2,3)或(5,0)(舍去)

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7，－12)或(2,3)．