2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合，，則（ ）

A.B.C.D.

2.已知，則（ ）

A.B.C.D.

3.已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（ ）

A.2B.C.4D.

4.下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ）

A.B.C.D.

5.已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）

A.13B.12C.9D.6

6.若，則（ ）

A.B.C.D.

7.若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（ ）

A.B.C.D.

8.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中（），c為非零常數(shù)，則（ ）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（ ）

A.B.

C.D.

11.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則（ ）

A.點(diǎn)到直線的距離小于10

B.點(diǎn)到直線的距離大于2

C.當(dāng)最小時(shí)，

D.當(dāng)最大時(shí)，

12.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（ ）

A.當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值

C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得

D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.

14.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且.若，則的準(zhǔn)線方程為______.

15.函數(shù)的最小值為______.

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折.規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推.則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對(duì)折次，那么______.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（10分）

已知數(shù)列滿足，

（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求的前20項(xiàng)和.

18.（12分）

某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分.

己知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

19.（12分）

記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.

（1）證明：；

（2）若，求.

20.（12分）

如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.

21.（12分）

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足.記的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)的兩條直線分別交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.

22.（12分）

已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.

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