絕密★啟用前

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（乙卷）

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．

2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．

3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．設(shè)，則（ ）

A．B．C．D．

2．已知集合，，則（ ）

A．B．C．D．

3．已知命題，；命題，，則下列命題中為真命題的是（ ）

A．B．C．D．

4．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）

A．B．C．D．

5．在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（ ）

A．B．C．D．

6．將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）

A．60種 B．120種 C．240種 D．480種

7．把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（ ）

A．B．C．D．

8．在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（ ）

A．B．C．D．

9．魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”，則海島的高（ ）

A．B．

C．D．

10．設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（ ）

A．B．C．D．

11．設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）

A．B．C．D．

12．設(shè)，，．則（ ）

A．B．C．D．

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________．

14．已知向量，若，則__________．

15．記的內(nèi)角的對邊分別為，面積為，，，則________．

16．以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為___________（寫出符合要求的一組答案即可）．

三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．

（一）必考題：共60分．

17．（12分）

某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．

（1）求﹔

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．

18．（12分）

如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，M為的中點(diǎn)，且．

（1）求，

（2）求二面角的正弦值．

19．（12分）

記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．

（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;

（2）求的通項(xiàng)公式．

20．（12分）

設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．

（1）求a；

（2）設(shè)函數(shù)．證明:．

21．（12分）

已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且F與圓上點(diǎn)的距離的最小值為4．

（1）求p；

（2）若點(diǎn)P在M上，是C的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．

（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．

22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為1．

（1）寫出的一個(gè)參數(shù)方程；

（2）過點(diǎn)作的兩條切線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程．

23．[選修4-5：不等式選講]（10分）

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；

（2）若，求a的取值范圍．