絕密★啟用前

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（乙卷）

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng):

1．答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．

2．回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．

3．考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回．

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．已知全集,集合,則（ ）

A．B．C．D．

2．設(shè),則（ ）

A．B．C．D．

3．已知命題﹔命題﹐,則下列命題中為真命題的是（ ）

A．B．C．D．

4．函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ）

A．和B．和2 C．和D．和2

5．若滿足約束條件則的最小值為（ ）

A．18 B．10 C．6 D．4

6．（ ）

A．B．C．D．

7．在區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（ ）

A．B．C．D．

8．下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）

A．B．

C．D．

9．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）

A．B．C．D．

10．在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（ ）

A．B．C．D．

11．設(shè)B是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的最大值為（ ）

A．B．C．D．2

12．設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（ ）

A．B．C．D．

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．已知向量，若，則_________．

14．雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_______．

15．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．

16．以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_(kāi)________（寫(xiě)出符合要求的一組答案即可）．

三、解答題．共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．

（一）必考題：共60分．

17．（12分）

某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．

（1）求，，，；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．

18．（12分）

如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．

（1）證明：平面平面；

（2）若，求四棱錐的體積．

19．（12分）

設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．

（1）求和的通項(xiàng)公式；

（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．

20．（12分）

已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．

（1）求C的方程;

（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在C上,點(diǎn)Q滿足,求直線斜率的最大值.

21．(12分)

已知函數(shù)．

（1)討論的單調(diào)性；

（2）求曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．

（二）選考題:共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．

22．[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)

在直角坐標(biāo)系中,的圓心為,半徑為1．

（1)寫(xiě)出的一個(gè)參數(shù)方程;

（2)過(guò)點(diǎn)作的兩條切線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求這兩條切線的極坐標(biāo)方程．

23．[選修4-5:不等式選講](10分)

已知函數(shù)．

(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;

(2)若,求a的取值范圍．