絕密★啟用前

202l年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（甲卷）

文科數(shù)學(xué)

注意事項：

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．設(shè)集合，則

A．B．C．D．

2．為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是

A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

3．已知，則

A．B．C．D．

4．下列函數(shù)中是增函數(shù)的為

A．B．C．D．

5．點到雙曲線的一條漸近線的距離為

A．B．C．D．

6．青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）

A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6

7．在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是

A．B．C．D．

8．在中，已知，，，則

A．1B．C．D．3

9．記為等比數(shù)列的前n項和．若，，則

A．7B．8C．9D．10

10．將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為

A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8

11．若，則

A．B．C．D．

12．設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，且．若，則

A．B．C．D．

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．若向量滿足，則_________．

14．已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為，則該圓錐的側(cè)面積為________．

15．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_______________．

16．已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．

三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．

（一）必考題：共60分．

17．（12分）

甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：

（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

附：，

18．（12分）

記為數(shù)列的前n項和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列．

19．（12分）

已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，．

（1）求三棱錐的體積；

（2）已知D為棱上的點，證明：．

20．（12分）

設(shè)函數(shù)，其中．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若的圖像與x軸沒有公共點，求a的取值范圍．

21．（12分）

拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．

（1）求C，的方程；

（2）設(shè)是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．

（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．

22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．

（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點A的直角坐標(biāo)為，M為C上的動點，點P滿足，寫出的軌跡的參數(shù)方程，并判斷C與是否有公共點．

23．[選修4-5：不等式選講]（10分）

已知函數(shù)．

（1）畫出和的圖像；

（2）若，求a的取值范圍．